Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1163 / 971
↖ ↑ ↗
← N  9.275622°
E 24.433594°		 ← 19.290 km → N  9.275622°
E 24.609375°		 →
↑
19.295 km
↓
↑
19.295 km
↓
N  9.102097°
E 24.433594°		 ← 19.300 km →
372.303 km²		 N  9.102097°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568115234375 y=0.474365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568115234375 × 211)
    floor (0.568115234375 × 2048)
    floor (1163.5)     		tx = 1163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.474365234375 × 211)
    floor (0.474365234375 × 2048)
    floor (971.5)     		ty = 971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1163 / 971 ti = "11/1163/971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1163/971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1163 ÷ 211
    1163 ÷ 2048     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 971 ÷ 211
    971 ÷ 2048     		y = 0.47412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.16260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.16260196351123))-π/2
    2×atan(1.17656827936573)-π/2
    2×0.866343236973168-π/2
    1.73268647394634-1.57079632675     		φ = 0.16189015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16189015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.275622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1163 KachelY 971 0.42644666 0.16189015 24.433594 9.275622
    Oben rechts KachelX + 1 1164 KachelY 971 0.42951462 0.16189015 24.609375 9.275622
    Unten links KachelX 1163 KachelY + 1 972 0.42644666 0.15886156 24.433594 9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 1164 KachelY + 1 972 0.42951462 0.15886156 24.609375 9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16189015-0.15886156) × R
    0.00302859 × 6371000     		dl = 19295.14689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16189015-0.15886156) × R
    0.00302859 × 6371000     		dr = 19295.14689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(0.16189015) × R
    0.00306796000000004 × 0.98692438473005 × 6371000     		do = 19290.3975348833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(0.15886156) × R
    0.00306796000000004 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 19299.8506140804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16189015)-sin(0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98692438473005-0.987408017809851)×R²
    abs(0.42951462-0.42644666)×0.000483633079800927×R²
    0.00306796000000004×0.000483633079800927×6371000²
    0.00306796000000004×0.000483633079800927×40589641000000     		ar = 372302537.852274m²