Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1163 / 1423
↖ ↑ ↗
← S 57.231503°
E 24.433594°		 ← 10.579 km → S 57.231503°
E 24.609375°		 →
↑
10.566 km
↓
↑
10.566 km
↓
S 57.326521°
E 24.433594°		 ← 10.552 km →
111.631 km²		 S 57.326521°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568115234375 y=0.695068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568115234375 × 211)
    floor (0.568115234375 × 2048)
    floor (1163.5)     		tx = 1163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695068359375 × 211)
    floor (0.695068359375 × 2048)
    floor (1423.5)     		ty = 1423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1163 / 1423 ti = "11/1163/1423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1163/1423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1163 ÷ 211
    1163 ÷ 2048     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1423 ÷ 211
    1423 ÷ 2048     		y = 0.69482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.22411666869775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22411666869775))-π/2
    2×atan(0.294017300335033)-π/2
    2×0.285959081873771-π/2
    0.571918163747542-1.57079632675     		φ = -0.99887816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99887816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.231503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1163 KachelY 1423 0.42644666 -0.99887816 24.433594 -57.231503
    Oben rechts KachelX + 1 1164 KachelY 1423 0.42951462 -0.99887816 24.609375 -57.231503
    Unten links KachelX 1163 KachelY + 1 1424 0.42644666 -1.00053654 24.433594 -57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 1164 KachelY + 1 1424 0.42951462 -1.00053654 24.609375 -57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99887816--1.00053654) × R
    0.00165837999999996 × 6371000     		dl = 10565.5389799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99887816--1.00053654) × R
    0.00165837999999996 × 6371000     		dr = 10565.5389799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(-0.99887816) × R
    0.00306796000000004 × 0.541245961487789 × 6371000     		do = 10579.1790361988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(-1.00053654) × R
    0.00306796000000004 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 10551.9081776061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99887816)-sin(-1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541245961487789-0.539850745277805)×R²
    abs(0.42951462-0.42644666)×0.00139521620998428×R²
    0.00306796000000004×0.00139521620998428×6371000²
    0.00306796000000004×0.00139521620998428×40589641000000     		ar = 111630688.407737m²