Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1163 / 1223
↖ ↑ ↗
← S 32.990235°
E 24.433594°		 ← 16.394 km → S 32.990235°
E 24.609375°		 →
↑
16.381 km
↓
↑
16.381 km
↓
S 33.137551°
E 24.433594°		 ← 16.367 km →
268.329 km²		 S 33.137551°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568115234375 y=0.597412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568115234375 × 211)
    floor (0.568115234375 × 2048)
    floor (1163.5)     		tx = 1163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597412109375 × 211)
    floor (0.597412109375 × 2048)
    floor (1223.5)     		ty = 1223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1163 / 1223 ti = "11/1163/1223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1163/1223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1163 ÷ 211
    1163 ÷ 2048     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1223 ÷ 211
    1223 ÷ 2048     		y = 0.59716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.610524353561035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610524353561035))-π/2
    2×atan(0.543066035794607)-π/2
    2×0.497504047642554-π/2
    0.995008095285108-1.57079632675     		φ = -0.57578823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57578823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.990235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1163 KachelY 1223 0.42644666 -0.57578823 24.433594 -32.990235
    Oben rechts KachelX + 1 1164 KachelY 1223 0.42951462 -0.57578823 24.609375 -32.990235
    Unten links KachelX 1163 KachelY + 1 1224 0.42644666 -0.57835937 24.433594 -33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 1164 KachelY + 1 1224 0.42951462 -0.57835937 24.609375 -33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57578823--0.57835937) × R
    0.00257114000000003 × 6371000     		dl = 16380.7329400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57578823--0.57835937) × R
    0.00257114000000003 × 6371000     		dr = 16380.7329400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(-0.57578823) × R
    0.00306796000000004 × 0.838763374870166 × 6371000     		do = 16394.4464128035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42951462) × cos(-0.57835937) × R
    0.00306796000000004 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 16367.0283656827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57578823)-sin(-0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838763374870166-0.837360628284139)×R²
    abs(0.42951462-0.42644666)×0.00140274658602679×R²
    0.00306796000000004×0.00140274658602679×6371000²
    0.00306796000000004×0.00140274658602679×40589641000000     		ar = 268328632.35485m²