Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1162 / 1211
↖ ↑ ↗
← S 31.203405°
E 24.257813°		 ← 16.718 km → S 31.203405°
E 24.433594°		 →
↑
16.705 km
↓
↑
16.705 km
↓
S 31.353637°
E 24.257813°		 ← 16.692 km →
279.059 km²		 S 31.353637°
E 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567626953125 y=0.591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567626953125 × 211)
    floor (0.567626953125 × 2048)
    floor (1162.5)     		tx = 1162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591552734375 × 211)
    floor (0.591552734375 × 2048)
    floor (1211.5)     		ty = 1211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1162 / 1211 ti = "11/1162/1211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1162/1211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1162 ÷ 211
    1162 ÷ 2048     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1211 ÷ 211
    1211 ÷ 2048     		y = 0.59130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573708814652832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573708814652832))-π/2
    2×atan(0.563431894349698)-π/2
    2×0.513097086291157-π/2
    1.02619417258231-1.57079632675     		φ = -0.54460215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54460215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.203405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1162 KachelY 1211 0.42337870 -0.54460215 24.257813 -31.203405
    Oben rechts KachelX + 1 1163 KachelY 1211 0.42644666 -0.54460215 24.433594 -31.203405
    Unten links KachelX 1162 KachelY + 1 1212 0.42337870 -0.54722420 24.257813 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 1163 KachelY + 1 1212 0.42644666 -0.54722420 24.433594 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54460215--0.54722420) × R
    0.00262205000000004 × 6371000     		dl = 16705.0805500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54460215--0.54722420) × R
    0.00262205000000004 × 6371000     		dr = 16705.0805500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42644666) × cos(-0.54460215) × R
    0.00306795999999998 × 0.855333475735648 × 6371000     		do = 16718.3251595784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42644666) × cos(-0.54722420) × R
    0.00306795999999998 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 16691.7159615769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54460215)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855333475735648-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42644666-0.42337870)×0.00136136470584902×R²
    0.00306795999999998×0.00136136470584902×6371000²
    0.00306795999999998×0.00136136470584902×40589641000000     		ar = 279058873.934761m²