Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11615 / 13661
↖ ↑ ↗
← N 28.642389°
W 52.393799°		 ← 1 072.15 m → N 28.642389°
W 52.382813°		 →
↑
1 072.18 m
↓
↑
1 072.18 m
↓
N 28.632747°
W 52.393799°		 ← 1 072.24 m →
1 149 581 m²		 N 28.632747°
W 52.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354476928710938 y=0.416915893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354476928710938 × 215)
    floor (0.354476928710938 × 32768)
    floor (11615.5)     		tx = 11615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416915893554688 × 215)
    floor (0.416915893554688 × 32768)
    floor (13661.5)     		ty = 13661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11615 / 13661 ti = "15/11615/13661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11615/13661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11615 ÷ 215
    11615 ÷ 32768     		x = 0.354461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13661 ÷ 215
    13661 ÷ 32768     		y = 0.416900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.29107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.91444430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416900634765625 × 2 - 1) × π
    0.16619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.522128710661652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91444430} λ = -0.91444430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522128710661652))-π/2
    2×atan(1.68561201357327)-π/2
    2×1.03535016161234-π/2
    2.07070032322469-1.57079632675     		φ = 0.49990400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91444430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49990400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.642389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11615 KachelY 13661 -0.91444430 0.49990400 -52.393799 28.642389
    Oben rechts KachelX + 1 11616 KachelY 13661 -0.91425255 0.49990400 -52.382813 28.642389
    Unten links KachelX 11615 KachelY + 1 13662 -0.91444430 0.49973571 -52.393799 28.632747
    Unten rechts KachelX + 1 11616 KachelY + 1 13662 -0.91425255 0.49973571 -52.382813 28.632747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49990400-0.49973571) × R
    0.000168290000000015 × 6371000     		dl = 1072.1755900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49990400-0.49973571) × R
    0.000168290000000015 × 6371000     		dr = 1072.1755900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91444430--0.91425255) × cos(0.49990400) × R
    0.000191749999999935 × 0.877628582698108 × 6371000     		do = 1072.14552354552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91444430--0.91425255) × cos(0.49973571) × R
    0.000191749999999935 × 0.877709238615274 × 6371000     		du = 1072.24405597967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49990400)-sin(0.49973571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877628582698108-0.877709238615274)×R²
    abs(-0.91425255--0.91444430)×8.06559171662169e-05×R²
    0.000191749999999935×8.06559171662169e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.06559171662169e-05×40589641000000     		ar = 1149581.0840216m²