Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1161 / 3209
↖ ↑ ↗
← S 70.873492°
W 77.958984°		 ← 3 202.17 m → S 70.873492°
W 77.871094°		 →
↑
3 199.83 m
↓
↑
3 199.83 m
↓
S 70.902268°
W 77.958984°		 ← 3 197.53 m →
10 238 990 m²		 S 70.902268°
W 77.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2835693359375 y=0.7835693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2835693359375 × 212)
    floor (0.2835693359375 × 4096)
    floor (1161.5)     		tx = 1161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7835693359375 × 212)
    floor (0.7835693359375 × 4096)
    floor (3209.5)     		ty = 3209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1161 / 3209 ti = "12/1161/3209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1161/3209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1161 ÷ 212
    1161 ÷ 4096     		x = 0.283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3209 ÷ 212
    3209 ÷ 4096     		y = 0.783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.43310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36064096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78095169468433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36064096} λ = -1.36064096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78095169468433))-π/2
    2×atan(0.168477731585749)-π/2
    2×0.166910275453404-π/2
    0.333820550906807-1.57079632675     		φ = -1.23697578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36064096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23697578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.873492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1161 KachelY 3209 -1.36064096 -1.23697578 -77.958984 -70.873492
    Oben rechts KachelX + 1 1162 KachelY 3209 -1.35910698 -1.23697578 -77.871094 -70.873492
    Unten links KachelX 1161 KachelY + 1 3210 -1.36064096 -1.23747803 -77.958984 -70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 1162 KachelY + 1 3210 -1.35910698 -1.23747803 -77.871094 -70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23697578--1.23747803) × R
    0.000502249999999815 × 6371000     		dl = 3199.83474999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23697578--1.23747803) × R
    0.000502249999999815 × 6371000     		dr = 3199.83474999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36064096--1.35910698) × cos(-1.23697578) × R
    0.00153398000000005 × 0.32765505368854 × 6371000     		do = 3202.16844256738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36064096--1.35910698) × cos(-1.23747803) × R
    0.00153398000000005 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 3197.5305172669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23697578)-sin(-1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32765505368854-0.32718048787772)×R²
    abs(-1.35910698--1.36064096)×0.000474565810820282×R²
    0.00153398000000005×0.000474565810820282×6371000²
    0.00153398000000005×0.000474565810820282×40589641000000     		ar = 10238989.7758436m²