Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1161 / 1425
↖ ↑ ↗
← S 57.421295°
E 24.082031°		 ← 10.525 km → S 57.421295°
E 24.257813°		 →
↑
10.511 km
↓
↑
10.511 km
↓
S 57.515823°
E 24.082031°		 ← 10.497 km →
110.483 km²		 S 57.515823°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567138671875 y=0.696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567138671875 × 211)
    floor (0.567138671875 × 2048)
    floor (1161.5)     		tx = 1161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.696044921875 × 211)
    floor (0.696044921875 × 2048)
    floor (1425.5)     		ty = 1425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1161 / 1425 ti = "11/1161/1425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1161/1425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1161 ÷ 211
    1161 ÷ 2048     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1425 ÷ 211
    1425 ÷ 2048     		y = 0.69580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.23025259184912))-π/2
    2×atan(0.292218756281913)-π/2
    2×0.284302839457417-π/2
    0.568605678914833-1.57079632675     		φ = -1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1161 KachelY 1425 0.42031074 -1.00219065 24.082031 -57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 1162 KachelY 1425 0.42337870 -1.00219065 24.257813 -57.421295
    Unten links KachelX 1161 KachelY + 1 1426 0.42031074 -1.00384048 24.082031 -57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 1162 KachelY + 1 1426 0.42337870 -1.00384048 24.257813 -57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00219065--1.00384048) × R
    0.00164983000000007 × 6371000     		dl = 10511.0669300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00219065--1.00384048) × R
    0.00164983000000007 × 6371000     		dr = 10511.0669300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-1.00219065) × R
    0.00306795999999998 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 10524.6786278864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-1.00384048) × R
    0.00306795999999998 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 10497.4908497185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00219065)-sin(-1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.537066676792603)×R²
    abs(0.42337870-0.42031074)×0.00139096569637787×R²
    0.00306795999999998×0.00139096569637787×6371000²
    0.00306795999999998×0.00139096569637787×40589641000000     		ar = 110482740.257065m²