Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1161 / 1143
↖ ↑ ↗
← S 20.468189°
E 24.082031°		 ← 18.312 km → S 20.468189°
E 24.257813°		 →
↑
18.302 km
↓
↑
18.302 km
↓
S 20.632784°
E 24.082031°		 ← 18.292 km →
334.968 km²		 S 20.632784°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567138671875 y=0.558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567138671875 × 211)
    floor (0.567138671875 × 2048)
    floor (1161.5)     		tx = 1161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558349609375 × 211)
    floor (0.558349609375 × 2048)
    floor (1143.5)     		ty = 1143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1161 / 1143 ti = "11/1161/1143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1161/1143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1161 ÷ 211
    1161 ÷ 2048     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1143 ÷ 211
    1143 ÷ 2048     		y = 0.55810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365087427506348))-π/2
    2×atan(0.69413596164887)-π/2
    2×0.606779516474185-π/2
    1.21355903294837-1.57079632675     		φ = -0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1161 KachelY 1143 0.42031074 -0.35723729 24.082031 -20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 1162 KachelY 1143 0.42337870 -0.35723729 24.257813 -20.468189
    Unten links KachelX 1161 KachelY + 1 1144 0.42031074 -0.36011002 24.082031 -20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 1162 KachelY + 1 1144 0.42337870 -0.36011002 24.257813 -20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35723729--0.36011002) × R
    0.00287272999999999 × 6371000     		dl = 18302.1628299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35723729--0.36011002) × R
    0.00287272999999999 × 6371000     		dr = 18302.1628299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-0.35723729) × R
    0.00306795999999998 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 18311.967118356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42337870) × cos(-0.36011002) × R
    0.00306795999999998 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 18292.2565380178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35723729)-sin(-0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.935858060802633)×R²
    abs(0.42337870-0.42031074)×0.00100842153915026×R²
    0.00306795999999998×0.00100842153915026×6371000²
    0.00306795999999998×0.00100842153915026×40589641000000     		ar = 334968461.175145m²