Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1160 / 951
↖ ↑ ↗
← N 12.726084°
E 23.906250°		 ← 19.066 km → N 12.726084°
E 24.082031°		 →
↑
19.072 km
↓
↑
19.072 km
↓
N 12.554564°
E 23.906250°		 ← 19.079 km →
363.751 km²		 N 12.554564°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566650390625 y=0.464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566650390625 × 211)
    floor (0.566650390625 × 2048)
    floor (1160.5)     		tx = 1160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464599609375 × 211)
    floor (0.464599609375 × 2048)
    floor (951.5)     		ty = 951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1160 / 951 ti = "11/1160/951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1160/951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1160 ÷ 211
    1160 ÷ 2048     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 951 ÷ 211
    951 ÷ 2048     		y = 0.46435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.223961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223961195024902))-π/2
    2×atan(1.25102247259054)-π/2
    2×0.896454199328373-π/2
    1.79290839865675-1.57079632675     		φ = 0.22211207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22211207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.726084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1160 KachelY 951 0.41724277 0.22211207 23.906250 12.726084
    Oben rechts KachelX + 1 1161 KachelY 951 0.42031074 0.22211207 24.082031 12.726084
    Unten links KachelX 1160 KachelY + 1 952 0.41724277 0.21911847 23.906250 12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 1161 KachelY + 1 952 0.42031074 0.21911847 24.082031 12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22211207-0.21911847) × R
    0.00299359999999999 × 6371000     		dl = 19072.2255999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22211207-0.21911847) × R
    0.00299359999999999 × 6371000     		dr = 19072.2255999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42031074) × cos(0.22211207) × R
    0.00306797000000003 × 0.975434356773038 × 6371000     		do = 19065.8759017507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42031074) × cos(0.21911847) × R
    0.00306797000000003 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 19078.6803015518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22211207)-sin(0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975434356773038-0.976089446082766)×R²
    abs(0.42031074-0.41724277)×0.000655089309727908×R²
    0.00306797000000003×0.000655089309727908×6371000²
    0.00306797000000003×0.000655089309727908×40589641000000     		ar = 363751062.311205m²