Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1160 / 950
↖ ↑ ↗
← N 12.897489°
E 23.906250°		 ← 19.053 km → N 12.897489°
E 24.082031°		 →
↑
19.059 km
↓
↑
19.059 km
↓
N 12.726084°
E 23.906250°		 ← 19.066 km →
363.260 km²		 N 12.726084°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566650390625 y=0.464111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566650390625 × 211)
    floor (0.566650390625 × 2048)
    floor (1160.5)     		tx = 1160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464111328125 × 211)
    floor (0.464111328125 × 2048)
    floor (950.5)     		ty = 950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1160 / 950 ti = "11/1160/950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1160/950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1160 ÷ 211
    1160 ÷ 2048     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 950 ÷ 211
    950 ÷ 2048     		y = 0.4638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227029156600586))-π/2
    2×atan(1.25486645504692)-π/2
    2×0.897949989142734-π/2
    1.79589997828547-1.57079632675     		φ = 0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1160 KachelY 950 0.41724277 0.22510365 23.906250 12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 1161 KachelY 950 0.42031074 0.22510365 24.082031 12.897489
    Unten links KachelX 1160 KachelY + 1 951 0.41724277 0.22211207 23.906250 12.726084
    Unten rechts KachelX + 1 1161 KachelY + 1 951 0.42031074 0.22211207 24.082031 12.726084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22510365-0.22211207) × R
    0.00299157999999999 × 6371000     		dl = 19059.35618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22510365-0.22211207) × R
    0.00299157999999999 × 6371000     		dr = 19059.35618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42031074) × cos(0.22510365) × R
    0.00306797000000003 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 19052.9094534782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42031074) × cos(0.22211207) × R
    0.00306797000000003 × 0.975434356773038 × 6371000     		du = 19065.8759017507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22510365)-sin(0.22211207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.975434356773038)×R²
    abs(0.42031074-0.41724277)×0.000663379914751849×R²
    0.00306797000000003×0.000663379914751849×6371000²
    0.00306797000000003×0.000663379914751849×40589641000000     		ar = 363260024.535019m²