Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 116 / 61
↖ ↑ ↗
← N 68.138852°
W 16.875000°		 ← 58.225 km → N 68.138852°
W 15.468750°		 →
↑
58.892 km
↓
↑
58.892 km
↓
N 67.609220°
W 16.875000°		 ← 59.564 km →
3 468.45 km²		 N 67.609220°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455078125 y=0.240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455078125 × 28)
    floor (0.455078125 × 256)
    floor (116.5)     		tx = 116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240234375 × 28)
    floor (0.240234375 × 256)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 116 / 61 ti = "8/116/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/116/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 116 ÷ 28
    116 ÷ 256     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 28
    61 ÷ 256     		y = 0.23828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23828125 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64442740456641))-π/2
    2×atan(5.17804413350958)-π/2
    2×1.38002181829244-π/2
    2.76004363658488-1.57079632675     		φ = 1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 116 KachelY 61 -0.29452431 1.18924731 -16.875000 68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 117 KachelY 61 -0.26998062 1.18924731 -15.468750 68.138852
    Unten links KachelX 116 KachelY + 1 62 -0.29452431 1.18000350 -16.875000 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 117 KachelY + 1 62 -0.26998062 1.18000350 -15.468750 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18924731-1.18000350) × R
    0.00924381000000007 × 6371000     		dl = 58892.3135100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18924731-1.18000350) × R
    0.00924381000000007 × 6371000     		dr = 58892.3135100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.26998062) × cos(1.18924731) × R
    0.02454369 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 58224.9041017204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.26998062) × cos(1.18000350) × R
    0.02454369 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 59563.8893874914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18924731)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.380921588243505)×R²
    abs(-0.26998062--0.29452431)×0.00856304729149693×R²
    0.02454369×0.00856304729149693×6371000²
    0.02454369×0.00856304729149693×40589641000000     		ar = 3468451974.7979m²