Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1159 / 856
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
E 23.730469°		 ← 17.209 km → N 28.304381°
E 23.906250°		 →
↑
17.222 km
↓
↑
17.222 km
↓
N 28.149503°
E 23.730469°		 ← 17.234 km →
296.584 km²		 N 28.149503°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566162109375 y=0.418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566162109375 × 211)
    floor (0.566162109375 × 2048)
    floor (1159.5)     		tx = 1159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418212890625 × 211)
    floor (0.418212890625 × 2048)
    floor (856.5)     		ty = 856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1159 / 856 ti = "11/1159/856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1159/856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1159 ÷ 211
    1159 ÷ 2048     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 856 ÷ 211
    856 ÷ 2048     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1159 KachelY 856 0.41417481 0.49400464 23.730469 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 1160 KachelY 856 0.41724277 0.49400464 23.906250 28.304381
    Unten links KachelX 1159 KachelY + 1 857 0.41417481 0.49130151 23.730469 28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 1160 KachelY + 1 857 0.41724277 0.49130151 23.906250 28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.49130151) × R
    0.00270313 × 6371000     		dl = 17221.64123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.49130151) × R
    0.00270313 × 6371000     		dr = 17221.64123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41724277) × cos(0.49400464) × R
    0.00306795999999998 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 17209.078135983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41724277) × cos(0.49130151) × R
    0.00306795999999998 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 17234.0673856499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.881719587179151)×R²
    abs(0.41724277-0.41417481)×0.00127848582734968×R²
    0.00306795999999998×0.00127848582734968×6371000²
    0.00306795999999998×0.00127848582734968×40589641000000     		ar = 296583928.095867m²