Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1159 / 3207
↖ ↑ ↗
← S 70.815812°
W 78.134766°		 ← 3 211.46 m → S 70.815812°
W 78.046875°		 →
↑
3 209.14 m
↓
↑
3 209.14 m
↓
S 70.844672°
W 78.134766°		 ← 3 206.81 m →
10 298 560 m²		 S 70.844672°
W 78.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2830810546875 y=0.7830810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2830810546875 × 212)
    floor (0.2830810546875 × 4096)
    floor (1159.5)     		tx = 1159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7830810546875 × 212)
    floor (0.7830810546875 × 4096)
    floor (3207.5)     		ty = 3207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1159 / 3207 ti = "12/1159/3207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1159/3207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1159 ÷ 212
    1159 ÷ 4096     		x = 0.282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3207 ÷ 212
    3207 ÷ 4096     		y = 0.782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.43408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36370892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.56591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77788373310864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36370892} λ = -1.36370892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77788373310864))-π/2
    2×atan(0.168995408492995)-π/2
    2×0.16741362107887-π/2
    0.33482724215774-1.57079632675     		φ = -1.23596908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36370892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23596908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.815812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1159 KachelY 3207 -1.36370892 -1.23596908 -78.134766 -70.815812
    Oben rechts KachelX + 1 1160 KachelY 3207 -1.36217494 -1.23596908 -78.046875 -70.815812
    Unten links KachelX 1159 KachelY + 1 3208 -1.36370892 -1.23647279 -78.134766 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 1160 KachelY + 1 3208 -1.36217494 -1.23647279 -78.046875 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23596908--1.23647279) × R
    0.000503710000000046 × 6371000     		dl = 3209.13641000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23596908--1.23647279) × R
    0.000503710000000046 × 6371000     		dr = 3209.13641000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36370892--1.36217494) × cos(-1.23596908) × R
    0.00153398000000005 × 0.328606015060954 × 6371000     		do = 3211.46217529807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36370892--1.36217494) × cos(-1.23647279) × R
    0.00153398000000005 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 3206.81239169725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23596908)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328606015060954-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.36217494--1.36370892)×0.00047577918610231×R²
    0.00153398000000005×0.00047577918610231×6371000²
    0.00153398000000005×0.00047577918610231×40589641000000     		ar = 10298559.5189136m²