Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1159 / 1415
↖ ↑ ↗
← N 75.419921°
W129.067383°		 ← 1 230.09 m → N 75.419921°
W129.023438°		 →
↑
1 230.56 m
↓
↑
1 230.56 m
↓
N 75.408854°
W129.067383°		 ← 1 231 m →
1 514 261 m²		 N 75.408854°
W129.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14154052734375 y=0.17279052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14154052734375 × 213)
    floor (0.14154052734375 × 8192)
    floor (1159.5)     		tx = 1159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17279052734375 × 213)
    floor (0.17279052734375 × 8192)
    floor (1415.5)     		ty = 1415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1159 / 1415 ti = "13/1159/1415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1159/1415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1159 ÷ 213
    1159 ÷ 8192     		x = 0.1414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1415 ÷ 213
    1415 ÷ 8192     		y = 0.1727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25265079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1727294921875 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05630124610193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25265079} λ = -2.25265079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05630124610193))-π/2
    2×atan(7.81700310228443)-π/2
    2×1.44356113330244-π/2
    2.88712226660487-1.57079632675     		φ = 1.31632594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25265079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31632594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.419921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1159 KachelY 1415 -2.25265079 1.31632594 -129.067383 75.419921
    Oben rechts KachelX + 1 1160 KachelY 1415 -2.25188380 1.31632594 -129.023438 75.419921
    Unten links KachelX 1159 KachelY + 1 1416 -2.25265079 1.31613279 -129.067383 75.408854
    Unten rechts KachelX + 1 1160 KachelY + 1 1416 -2.25188380 1.31613279 -129.023438 75.408854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31632594-1.31613279) × R
    0.000193150000000086 × 6371000     		dl = 1230.55865000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31632594-1.31613279) × R
    0.000193150000000086 × 6371000     		dr = 1230.55865000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25265079--2.25188380) × cos(1.31632594) × R
    0.000766990000000245 × 0.25173288602267 × 6371000     		do = 1230.09105842251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25265079--2.25188380) × cos(1.31613279) × R
    0.000766990000000245 × 0.251919811268558 × 6371000     		du = 1231.00446738227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31632594)-sin(1.31613279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25173288602267-0.251919811268558)×R²
    abs(-2.25188380--2.25265079)×0.000186925245888037×R²
    0.000766990000000245×0.000186925245888037×6371000²
    0.000766990000000245×0.000186925245888037×40589641000000     		ar = 1514261.1985885m²