Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11583 / 5567
↖ ↑ ↗
← N 81.570773°
W116.372681°		 ← 89.54 m → N 81.570773°
W116.367187°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
N 81.569968°
W116.372681°		 ← 89.55 m →
8 016 m²		 N 81.569968°
W116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.176750183105469 y=0.0849533081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.176750183105469 × 216)
    floor (0.176750183105469 × 65536)
    floor (11583.5)     		tx = 11583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849533081054688 × 216)
    floor (0.0849533081054688 × 65536)
    floor (5567.5)     		ty = 5567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11583 / 5567 ti = "16/11583/5567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11583/5567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11583 ÷ 216
    11583 ÷ 65536     		x = 0.176742553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5567 ÷ 216
    5567 ÷ 65536     		y = 0.0849456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.176742553710938 × 2 - 1) × π
    -0.646514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.03108644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0849456787109375 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60786321313029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03108644} λ = -2.03108644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60786321313029))-π/2
    2×atan(13.5700236020979)-π/2
    2×1.49723744862877-π/2
    2.99447489725754-1.57079632675     		φ = 1.42367857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03108644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.372681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42367857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.570773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11583 KachelY 5567 -2.03108644 1.42367857 -116.372681 81.570773
    Oben rechts KachelX + 1 11584 KachelY 5567 -2.03099056 1.42367857 -116.367187 81.570773
    Unten links KachelX 11583 KachelY + 1 5568 -2.03108644 1.42366452 -116.372681 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 11584 KachelY + 1 5568 -2.03099056 1.42366452 -116.367187 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42367857-1.42366452) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42367857-1.42366452) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03108644--2.03099056) × cos(1.42367857) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.146587636983422 × 6371000     		do = 89.5432750013818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03108644--2.03099056) × cos(1.42366452) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 89.5517647453859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42367857)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146587636983422-0.14660153519646)×R²
    abs(-2.03099056--2.03108644)×1.389821303871e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.389821303871e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.389821303871e-05×40589641000000     		ar = 8015.62685029017m²