Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1158 / 1403
↖ ↑ ↗
← S 55.279115°
E 23.554687°		 ← 11.133 km → S 55.279115°
E 23.730469°		 →
↑
11.119 km
↓
↑
11.119 km
↓
S 55.379110°
E 23.554687°		 ← 11.105 km →
123.631 km²		 S 55.379110°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565673828125 y=0.685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565673828125 × 211)
    floor (0.565673828125 × 2048)
    floor (1158.5)     		tx = 1158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685302734375 × 211)
    floor (0.685302734375 × 2048)
    floor (1403.5)     		ty = 1403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1158 / 1403 ti = "11/1158/1403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1158/1403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1158 ÷ 211
    1158 ÷ 2048     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1403 ÷ 211
    1403 ÷ 2048     		y = 0.68505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16275743718408))-π/2
    2×atan(0.312622953125861)-π/2
    2×0.302996878689303-π/2
    0.605993757378607-1.57079632675     		φ = -0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1158 KachelY 1403 0.41110685 -0.96480257 23.554687 -55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 1159 KachelY 1403 0.41417481 -0.96480257 23.730469 -55.279115
    Unten links KachelX 1158 KachelY + 1 1404 0.41110685 -0.96654781 23.554687 -55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 1159 KachelY + 1 1404 0.41417481 -0.96654781 23.730469 -55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96480257--0.96654781) × R
    0.00174523999999998 × 6371000     		dl = 11118.9240399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96480257--0.96654781) × R
    0.00174523999999998 × 6371000     		dr = 11118.9240399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.96480257) × R
    0.00306795999999998 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 11132.9790194268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.96654781) × R
    0.00306795999999998 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 11104.9238412378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96480257)-sin(-0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.568143819206898)×R²
    abs(0.41417481-0.41110685)×0.00143534312460769×R²
    0.00306795999999998×0.00143534312460769×6371000²
    0.00306795999999998×0.00143534312460769×40589641000000     		ar = 123630807.73851m²