Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1158 / 1221
↖ ↑ ↗
← S 32.694866°
E 23.554687°		 ← 16.449 km → S 32.694866°
E 23.730469°		 →
↑
16.435 km
↓
↑
16.435 km
↓
S 32.842674°
E 23.554687°		 ← 16.422 km →
270.124 km²		 S 32.842674°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565673828125 y=0.596435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565673828125 × 211)
    floor (0.565673828125 × 2048)
    floor (1158.5)     		tx = 1158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596435546875 × 211)
    floor (0.596435546875 × 2048)
    floor (1221.5)     		ty = 1221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1158 / 1221 ti = "11/1158/1221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1158/1221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1158 ÷ 211
    1158 ÷ 2048     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1221 ÷ 211
    1221 ÷ 2048     		y = 0.59619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604388430409668))-π/2
    2×atan(0.54640849129458)-π/2
    2×0.500081633498619-π/2
    1.00016326699724-1.57079632675     		φ = -0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1158 KachelY 1221 0.41110685 -0.57063306 23.554687 -32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 1159 KachelY 1221 0.41417481 -0.57063306 23.730469 -32.694866
    Unten links KachelX 1158 KachelY + 1 1222 0.41110685 -0.57321279 23.554687 -32.842674
    Unten rechts KachelX + 1 1159 KachelY + 1 1222 0.41417481 -0.57321279 23.730469 -32.842674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57063306--0.57321279) × R
    0.00257973 × 6371000     		dl = 16435.45983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57063306--0.57321279) × R
    0.00257973 × 6371000     		dr = 16435.45983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.57063306) × R
    0.00306795999999998 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 16449.0932820074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41417481) × cos(-0.57321279) × R
    0.00306795999999998 × 0.840162908639566 × 6371000     		du = 16421.8016622964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57063306)-sin(-0.57321279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.840162908639566)×R²
    abs(0.41417481-0.41110685)×0.00139627837854861×R²
    0.00306795999999998×0.00139627837854861×6371000²
    0.00306795999999998×0.00139627837854861×40589641000000     		ar = 270124286.523221m²