Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1157 / 3213
↖ ↑ ↗
← S 70.988349°
W 78.310547°		 ← 3 183.65 m → S 70.988349°
W 78.222656°		 →
↑
3 181.36 m
↓
↑
3 181.36 m
↓
S 71.016960°
W 78.310547°		 ← 3 179.04 m →
10 121 000 m²		 S 71.016960°
W 78.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2825927734375 y=0.7845458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2825927734375 × 212)
    floor (0.2825927734375 × 4096)
    floor (1157.5)     		tx = 1157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7845458984375 × 212)
    floor (0.7845458984375 × 4096)
    floor (3213.5)     		ty = 3213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1157 / 3213 ti = "12/1157/3213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1157/3213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1157 ÷ 212
    1157 ÷ 4096     		x = 0.282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3213 ÷ 212
    3213 ÷ 4096     		y = 0.784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282470703125 × 2 - 1) × π
    -0.43505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36677688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36677688} λ = -1.36677688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78708761783569))-π/2
    2×atan(0.167447130250789)-π/2
    2×0.165907951147497-π/2
    0.331815902294995-1.57079632675     		φ = -1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36677688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1157 KachelY 3213 -1.36677688 -1.23898042 -78.310547 -70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 1158 KachelY 3213 -1.36524290 -1.23898042 -78.222656 -70.988349
    Unten links KachelX 1157 KachelY + 1 3214 -1.36677688 -1.23947977 -78.310547 -71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 1158 KachelY + 1 3214 -1.36524290 -1.23947977 -78.222656 -71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23898042--1.23947977) × R
    0.000499349999999898 × 6371000     		dl = 3181.35884999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23898042--1.23947977) × R
    0.000499349999999898 × 6371000     		dr = 3181.35884999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36677688--1.36524290) × cos(-1.23898042) × R
    0.00153398000000005 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 3183.65219245118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36677688--1.36524290) × cos(-1.23947977) × R
    0.00153398000000005 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 3179.03785507633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23898042)-sin(-1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.325288265675305)×R²
    abs(-1.36524290--1.36677688)×0.00047215222665864×R²
    0.00153398000000005×0.00047215222665864×6371000²
    0.00153398000000005×0.00047215222665864×40589641000000     		ar = 10121000.3565538m²