Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1155 / 883
↖ ↑ ↗
← N 24.046464°
E 23.027344°		 ← 17.850 km → N 24.046464°
E 23.203125°		 →
↑
17.861 km
↓
↑
17.861 km
↓
N 23.885838°
E 23.027344°		 ← 17.872 km →
319.009 km²		 N 23.885838°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564208984375 y=0.431396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564208984375 × 211)
    floor (0.564208984375 × 2048)
    floor (1155.5)     		tx = 1155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431396484375 × 211)
    floor (0.431396484375 × 2048)
    floor (883.5)     		ty = 883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1155 / 883 ti = "11/1155/883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1155/883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1155 ÷ 211
    1155 ÷ 2048     		x = 0.56396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 883 ÷ 211
    883 ÷ 2048     		y = 0.43115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56396484375 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432582582171387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40190297} λ = 0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432582582171387))-π/2
    2×atan(1.54123274838435)-π/2
    2×0.995243148520036-π/2
    1.99048629704007-1.57079632675     		φ = 0.41968997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41968997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.046464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1155 KachelY 883 0.40190297 0.41968997 23.027344 24.046464
    Oben rechts KachelX + 1 1156 KachelY 883 0.40497093 0.41968997 23.203125 24.046464
    Unten links KachelX 1155 KachelY + 1 884 0.40190297 0.41688651 23.027344 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 1156 KachelY + 1 884 0.40497093 0.41688651 23.203125 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41968997-0.41688651) × R
    0.00280346000000004 × 6371000     		dl = 17860.8436600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41968997-0.41688651) × R
    0.00280346000000004 × 6371000     		dr = 17860.8436600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40190297-0.40497093) × cos(0.41968997) × R
    0.00306795999999998 × 0.91321531440113 × 6371000     		do = 17849.6820245853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40190297-0.40497093) × cos(0.41688651) × R
    0.00306795999999998 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 17871.9401245964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41968997)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91321531440113-0.91435407069783)×R²
    abs(0.40497093-0.40190297)×0.00113875629669979×R²
    0.00306795999999998×0.00113875629669979×6371000²
    0.00306795999999998×0.00113875629669979×40589641000000     		ar = 319009363.178962m²