Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1155 / 2151
↖ ↑ ↗
← S  9.015302°
W 78.486328°		 ← 9 652.26 m → S  9.015302°
W 78.398437°		 →
↑
9 651.11 m
↓
↑
9 651.11 m
↓
S  9.102097°
W 78.486328°		 ← 9 649.93 m →
93 143 750 m²		 S  9.102097°
W 78.398437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2821044921875 y=0.5252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2821044921875 × 212)
    floor (0.2821044921875 × 4096)
    floor (1155.5)     		tx = 1155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5252685546875 × 212)
    floor (0.5252685546875 × 4096)
    floor (2151.5)     		ty = 2151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1155 / 2151 ti = "12/1155/2151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1155/2151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1155 ÷ 212
    1155 ÷ 4096     		x = 0.281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2151 ÷ 212
    2151 ÷ 4096     		y = 0.525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.43603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36984484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36984484} λ = -1.36984484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158000021147705))-π/2
    2×atan(0.853849763911519)-π/2
    2×0.70672480900922-π/2
    1.41344961801844-1.57079632675     		φ = -0.15734671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36984484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15734671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.015302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1155 KachelY 2151 -1.36984484 -0.15734671 -78.486328 -9.015302
    Oben rechts KachelX + 1 1156 KachelY 2151 -1.36831086 -0.15734671 -78.398437 -9.015302
    Unten links KachelX 1155 KachelY + 1 2152 -1.36984484 -0.15886156 -78.486328 -9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 1156 KachelY + 1 2152 -1.36831086 -0.15886156 -78.398437 -9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15734671--0.15886156) × R
    0.00151485000000001 × 6371000     		dl = 9651.10935000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15734671--0.15886156) × R
    0.00151485000000001 × 6371000     		dr = 9651.10935000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36984484--1.36831086) × cos(-0.15734671) × R
    0.00153398000000005 × 0.987646525271826 × 6371000     		do = 9652.25623726547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36984484--1.36831086) × cos(-0.15886156) × R
    0.00153398000000005 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 9649.92530704036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15734671)-sin(-0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987646525271826-0.987408017809851)×R²
    abs(-1.36831086--1.36984484)×0.000238507461975068×R²
    0.00153398000000005×0.000238507461975068×6371000²
    0.00153398000000005×0.000238507461975068×40589641000000     		ar = 93143750.2007859m²