Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1155 / 2149
↖ ↑ ↗
← S  8.841651°
W 78.486328°		 ← 9 656.85 m → S  8.841651°
W 78.398437°		 →
↑
9 655.76 m
↓
↑
9 655.76 m
↓
S  8.928487°
W 78.486328°		 ← 9 654.57 m →
93 233 232 m²		 S  8.928487°
W 78.398437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2821044921875 y=0.5247802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2821044921875 × 212)
    floor (0.2821044921875 × 4096)
    floor (1155.5)     		tx = 1155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5247802734375 × 212)
    floor (0.5247802734375 × 4096)
    floor (2149.5)     		ty = 2149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1155 / 2149 ti = "12/1155/2149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1155/2149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1155 ÷ 212
    1155 ÷ 4096     		x = 0.281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2149 ÷ 212
    2149 ÷ 4096     		y = 0.524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.43603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36984484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36984484} λ = -1.36984484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154932059572021))-π/2
    2×atan(0.856473364673908)-π/2
    2×0.708240201714253-π/2
    1.41648040342851-1.57079632675     		φ = -0.15431592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36984484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15431592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.841651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1155 KachelY 2149 -1.36984484 -0.15431592 -78.486328 -8.841651
    Oben rechts KachelX + 1 1156 KachelY 2149 -1.36831086 -0.15431592 -78.398437 -8.841651
    Unten links KachelX 1155 KachelY + 1 2150 -1.36984484 -0.15583150 -78.486328 -8.928487
    Unten rechts KachelX + 1 1156 KachelY + 1 2150 -1.36831086 -0.15583150 -78.398437 -8.928487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15431592--0.15583150) × R
    0.00151558000000002 × 6371000     		dl = 9655.7601800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15431592--0.15583150) × R
    0.00151558000000002 × 6371000     		dr = 9655.7601800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36984484--1.36831086) × cos(-0.15431592) × R
    0.00153398000000005 × 0.988116907926707 × 6371000     		do = 9656.85328063909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36984484--1.36831086) × cos(-0.15583150) × R
    0.00153398000000005 × 0.987882822184733 × 6371000     		du = 9654.56556382421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15431592)-sin(-0.15583150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988116907926707-0.987882822184733)×R²
    abs(-1.36831086--1.36984484)×0.000234085741973256×R²
    0.00153398000000005×0.000234085741973256×6371000²
    0.00153398000000005×0.000234085741973256×40589641000000     		ar = 93233232.3950964m²