Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1154 / 898
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
W 78.574219°		 ← 3 253.58 m → N 70.554179°
W 78.486328°		 →
↑
3 255.96 m
↓
↑
3 255.96 m
↓
N 70.524897°
W 78.574219°		 ← 3 258.29 m →
10 601 195 m²		 N 70.524897°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2818603515625 y=0.2193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2818603515625 × 212)
    floor (0.2818603515625 × 4096)
    floor (1154.5)     		tx = 1154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2193603515625 × 212)
    floor (0.2193603515625 × 4096)
    floor (898.5)     		ty = 898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1154 / 898 ti = "12/1154/898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1154/898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1154 ÷ 212
    1154 ÷ 4096     		x = 0.28173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 898 ÷ 212
    898 ÷ 4096     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37137882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37137882} λ = -1.37137882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37137882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1154 KachelY 898 -1.37137882 1.23140272 -78.574219 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 1155 KachelY 898 -1.36984484 1.23140272 -78.486328 70.554179
    Unten links KachelX 1154 KachelY + 1 899 -1.37137882 1.23089166 -78.574219 70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 1155 KachelY + 1 899 -1.36984484 1.23089166 -78.486328 70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23089166) × R
    0.000511060000000008 × 6371000     		dl = 3255.96326000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23089166) × R
    0.000511060000000008 × 6371000     		dr = 3255.96326000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37137882--1.36984484) × cos(1.23140272) × R
    0.00153398000000005 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 3253.5772560244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37137882--1.36984484) × cos(1.23089166) × R
    0.00153398000000005 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 3258.28650606575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333397214801624)×R²
    abs(-1.36984484--1.37137882)×0.00048186396275085×R²
    0.00153398000000005×0.00048186396275085×6371000²
    0.00153398000000005×0.00048186396275085×40589641000000     		ar = 10601194.8124804m²