Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1153 / 897
↖ ↑ ↗
← N 70.583417°
W 78.662110°		 ← 3 248.90 m → N 70.583417°
W 78.574219°		 →
↑
3 251.19 m
↓
↑
3 251.19 m
↓
N 70.554179°
W 78.662110°		 ← 3 253.60 m →
10 570 405 m²		 N 70.554179°
W 78.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2816162109375 y=0.2191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2816162109375 × 212)
    floor (0.2816162109375 × 4096)
    floor (1153.5)     		tx = 1153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2191162109375 × 212)
    floor (0.2191162109375 × 4096)
    floor (897.5)     		ty = 897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1153 / 897 ti = "12/1153/897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1153/897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1153 ÷ 212
    1153 ÷ 4096     		x = 0.281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 897 ÷ 212
    897 ÷ 4096     		y = 0.218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.43701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37291281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37291281} λ = -1.37291281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76561188680591))-π/2
    2×atan(5.84514783291905)-π/2
    2×1.40135467993365-π/2
    2.80270935986731-1.57079632675     		φ = 1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37291281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.662110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1153 KachelY 897 -1.37291281 1.23191303 -78.662110 70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 1154 KachelY 897 -1.37137882 1.23191303 -78.574219 70.583417
    Unten links KachelX 1153 KachelY + 1 898 -1.37291281 1.23140272 -78.662110 70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 1154 KachelY + 1 898 -1.37137882 1.23140272 -78.574219 70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23191303-1.23140272) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dl = 3251.1850100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23191303-1.23140272) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dr = 3251.1850100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37291281--1.37137882) × cos(1.23191303) × R
    0.00153398999999999 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 3248.89524845581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37291281--1.37137882) × cos(1.23140272) × R
    0.00153398999999999 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 3253.59846606127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23191303)-sin(1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332915350838873)×R²
    abs(-1.37137882--1.37291281)×0.00048124356939766×R²
    0.00153398999999999×0.00048124356939766×6371000²
    0.00153398999999999×0.00048124356939766×40589641000000     		ar = 10570405.275525m²