Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1153 / 1417
↖ ↑ ↗
← N 75.397779°
W129.331055°		 ← 1 231.92 m → N 75.397779°
W129.287109°		 →
↑
1 232.41 m
↓
↑
1 232.41 m
↓
N 75.386696°
W129.331055°		 ← 1 232.83 m →
1 518 788 m²		 N 75.386696°
W129.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14080810546875 y=0.17303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14080810546875 × 213)
    floor (0.14080810546875 × 8192)
    floor (1153.5)     		tx = 1153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17303466796875 × 213)
    floor (0.17303466796875 × 8192)
    floor (1417.5)     		ty = 1417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1153 / 1417 ti = "13/1153/1417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1153/1417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1153 ÷ 213
    1153 ÷ 8192     		x = 0.1407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1417 ÷ 213
    1417 ÷ 8192     		y = 0.1729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25725273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1729736328125 × 2 - 1) × π
    0.654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05476726531409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25725273} λ = -2.25725273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05476726531409))-π/2
    2×atan(7.80502116208962)-π/2
    2×1.44336791321167-π/2
    2.88673582642335-1.57079632675     		φ = 1.31593950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25725273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31593950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.397779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1153 KachelY 1417 -2.25725273 1.31593950 -129.331055 75.397779
    Oben rechts KachelX + 1 1154 KachelY 1417 -2.25648574 1.31593950 -129.287109 75.397779
    Unten links KachelX 1153 KachelY + 1 1418 -2.25725273 1.31574606 -129.331055 75.386696
    Unten rechts KachelX + 1 1154 KachelY + 1 1418 -2.25648574 1.31574606 -129.287109 75.386696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31593950-1.31574606) × R
    0.0001934400000001 × 6371000     		dl = 1232.40624000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31593950-1.31574606) × R
    0.0001934400000001 × 6371000     		dr = 1232.40624000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25725273--2.25648574) × cos(1.31593950) × R
    0.000766989999999801 × 0.252106862594012 × 6371000     		do = 1231.91849242827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25725273--2.25648574) × cos(1.31574606) × R
    0.000766989999999801 × 0.25229404964809 × 6371000     		du = 1232.833180712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31593950)-sin(1.31574606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252106862594012-0.25229404964809)×R²
    abs(-2.25648574--2.25725273)×0.00018718705407833×R²
    0.000766989999999801×0.00018718705407833×6371000²
    0.000766989999999801×0.00018718705407833×40589641000000     		ar = 1518787.67575141m²