Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1153 / 1406
↖ ↑ ↗
← N 75.519151°
W129.331055°		 ← 1 221.90 m → N 75.519151°
W129.287109°		 →
↑
1 222.34 m
↓
↑
1 222.34 m
↓
N 75.508159°
W129.331055°		 ← 1 222.81 m →
1 494 131 m²		 N 75.508159°
W129.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14080810546875 y=0.17169189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14080810546875 × 213)
    floor (0.14080810546875 × 8192)
    floor (1153.5)     		tx = 1153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17169189453125 × 213)
    floor (0.17169189453125 × 8192)
    floor (1406.5)     		ty = 1406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1153 / 1406 ti = "13/1153/1406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1153/1406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1153 ÷ 213
    1153 ÷ 8192     		x = 0.1407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1406 ÷ 213
    1406 ÷ 8192     		y = 0.171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25725273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171630859375 × 2 - 1) × π
    0.65673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25725273} λ = -2.25725273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06320415964722))-π/2
    2×atan(7.87114986909921)-π/2
    2×1.44442708228482-π/2
    2.88885416456965-1.57079632675     		φ = 1.31805784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25725273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31805784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.519151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1153 KachelY 1406 -2.25725273 1.31805784 -129.331055 75.519151
    Oben rechts KachelX + 1 1154 KachelY 1406 -2.25648574 1.31805784 -129.287109 75.519151
    Unten links KachelX 1153 KachelY + 1 1407 -2.25725273 1.31786598 -129.331055 75.508159
    Unten rechts KachelX + 1 1154 KachelY + 1 1407 -2.25648574 1.31786598 -129.287109 75.508159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31805784-1.31786598) × R
    0.000191859999999933 × 6371000     		dl = 1222.34005999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31805784-1.31786598) × R
    0.000191859999999933 × 6371000     		dr = 1222.34005999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25725273--2.25648574) × cos(1.31805784) × R
    0.000766989999999801 × 0.250056382131499 × 6371000     		do = 1221.89883340693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25725273--2.25648574) × cos(1.31786598) × R
    0.000766989999999801 × 0.250242142380844 × 6371000     		du = 1222.8065496189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31805784)-sin(1.31786598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250056382131499-0.250242142380844)×R²
    abs(-2.25648574--2.25725273)×0.000185760249344746×R²
    0.000766989999999801×0.000185760249344746×6371000²
    0.000766989999999801×0.000185760249344746×40589641000000     		ar = 1494130.6668674m²