Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11524 / 19716
↖ ↑ ↗
← S 34.343436°
W 53.393555°		 ← 1 008.67 m → S 34.343436°
W 53.382568°		 →
↑
1 008.59 m
↓
↑
1 008.59 m
↓
S 34.352507°
W 53.393555°		 ← 1 008.56 m →
1 017 284 m²		 S 34.352507°
W 53.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351699829101562 y=0.601699829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351699829101562 × 215)
    floor (0.351699829101562 × 32768)
    floor (11524.5)     		tx = 11524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601699829101562 × 215)
    floor (0.601699829101562 × 32768)
    floor (19716.5)     		ty = 19716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11524 / 19716 ti = "15/11524/19716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11524/19716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11524 ÷ 215
    11524 ÷ 32768     		x = 0.3516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19716 ÷ 215
    19716 ÷ 32768     		y = 0.6016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.93189333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.638902998136108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93189333} λ = -0.93189333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638902998136108))-π/2
    2×atan(0.527871182206391)-π/2
    2×0.485695145483385-π/2
    0.971390290966771-1.57079632675     		φ = -0.59940604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93189333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59940604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.343436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11524 KachelY 19716 -0.93189333 -0.59940604 -53.393555 -34.343436
    Oben rechts KachelX + 1 11525 KachelY 19716 -0.93170158 -0.59940604 -53.382568 -34.343436
    Unten links KachelX 11524 KachelY + 1 19717 -0.93189333 -0.59956435 -53.393555 -34.352507
    Unten rechts KachelX + 1 11525 KachelY + 1 19717 -0.93170158 -0.59956435 -53.382568 -34.352507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59940604--0.59956435) × R
    0.000158309999999995 × 6371000     		dl = 1008.59300999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59940604--0.59956435) × R
    0.000158309999999995 × 6371000     		dr = 1008.59300999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93189333--0.93170158) × cos(-0.59940604) × R
    0.000191749999999935 × 0.825670844349012 × 6371000     		do = 1008.67191103705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93189333--0.93170158) × cos(-0.59956435) × R
    0.000191749999999935 × 0.825581523074829 × 6371000     		du = 1008.56279266265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59940604)-sin(-0.59956435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825670844349012-0.825581523074829)×R²
    abs(-0.93170158--0.93189333)×8.93212741824856e-05×R²
    0.000191749999999935×8.93212741824856e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.93212741824856e-05×40589641000000     		ar = 1017284.41296428m²