Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11520 / 14080
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
W 53.437500°		 ← 1 111.40 m → N 24.527135°
W 53.426514°		 →
↑
1 111.42 m
↓
↑
1 111.42 m
↓
N 24.517140°
W 53.437500°		 ← 1 111.49 m →
1 235 287 m²		 N 24.517140°
W 53.426514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351577758789062 y=0.429702758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351577758789062 × 215)
    floor (0.351577758789062 × 32768)
    floor (11520.5)     		tx = 11520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429702758789062 × 215)
    floor (0.429702758789062 × 32768)
    floor (14080.5)     		ty = 14080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11520 / 14080 ti = "15/11520/14080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11520/14080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11520 ÷ 215
    11520 ÷ 32768     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14080 ÷ 215
    14080 ÷ 32768     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11520 KachelY 14080 -0.93266032 0.42807926 -53.437500 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 11521 KachelY 14080 -0.93246857 0.42807926 -53.426514 24.527135
    Unten links KachelX 11520 KachelY + 1 14081 -0.93266032 0.42790481 -53.437500 24.517140
    Unten rechts KachelX + 1 11521 KachelY + 1 14081 -0.93246857 0.42790481 -53.426514 24.517140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.42790481) × R
    0.000174449999999993 × 6371000     		dl = 1111.42094999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.42790481) × R
    0.000174449999999993 × 6371000     		dr = 1111.42094999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.93246857) × cos(0.42807926) × R
    0.000191749999999935 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 1111.40435485473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.93246857) × cos(0.42790481) × R
    0.000191749999999935 × 0.909837177474598 × 6371000     		du = 1111.49280711181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.42790481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.909837177474598)×R²
    abs(-0.93246857--0.93266032)×7.24045638461623e-05×R²
    0.000191749999999935×7.24045638461623e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.24045638461623e-05×40589641000000     		ar = 1235287.24088533m²