Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1152 / 1418
↖ ↑ ↗
← N 75.386696°
W129.375000°		 ← 1 232.83 m → N 75.386696°
W129.331055°		 →
↑
1 233.23 m
↓
↑
1 233.23 m
↓
N 75.375605°
W129.375000°		 ← 1 233.75 m →
1 520 937 m²		 N 75.375605°
W129.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14068603515625 y=0.17315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14068603515625 × 213)
    floor (0.14068603515625 × 8192)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17315673828125 × 213)
    floor (0.17315673828125 × 8192)
    floor (1418.5)     		ty = 1418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1152 / 1418 ti = "13/1152/1418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1152/1418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 213
    1152 ÷ 8192     		x = 0.140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1418 ÷ 213
    1418 ÷ 8192     		y = 0.173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140625 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25801972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173095703125 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05400027492017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25801972} λ = -2.25801972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05400027492017))-π/2
    2×atan(7.79903708099366)-π/2
    2×1.44327119555295-π/2
    2.8865423911059-1.57079632675     		φ = 1.31574606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25801972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31574606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.386696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 1418 -2.25801972 1.31574606 -129.375000 75.386696
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 1418 -2.25725273 1.31574606 -129.331055 75.386696
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 1419 -2.25801972 1.31555249 -129.375000 75.375605
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 1419 -2.25725273 1.31555249 -129.331055 75.375605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31574606-1.31555249) × R
    0.000193569999999976 × 6371000     		dl = 1233.23446999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31574606-1.31555249) × R
    0.000193569999999976 × 6371000     		dr = 1233.23446999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25801972--2.25725273) × cos(1.31574606) × R
    0.000766990000000245 × 0.25229404964809 × 6371000     		do = 1232.83318071271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25801972--2.25725273) × cos(1.31555249) × R
    0.000766990000000245 × 0.2524813530498 × 6371000     		du = 1233.74843752836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31574606)-sin(1.31555249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25229404964809-0.2524813530498)×R²
    abs(-2.25725273--2.25801972)×0.000187303401709638×R²
    0.000766990000000245×0.000187303401709638×6371000²
    0.000766990000000245×0.000187303401709638×40589641000000     		ar = 1520936.74209215m²