Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1152 / 1405
↖ ↑ ↗
← N 75.530136°
W129.375000°		 ← 1 220.99 m → N 75.530136°
W129.331055°		 →
↑
1 221.45 m
↓
↑
1 221.45 m
↓
N 75.519151°
W129.375000°		 ← 1 221.90 m →
1 491 932 m²		 N 75.519151°
W129.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14068603515625 y=0.17156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14068603515625 × 213)
    floor (0.14068603515625 × 8192)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17156982421875 × 213)
    floor (0.17156982421875 × 8192)
    floor (1405.5)     		ty = 1405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1152 / 1405 ti = "13/1152/1405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1152/1405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 213
    1152 ÷ 8192     		x = 0.140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1405 ÷ 213
    1405 ÷ 8192     		y = 0.1715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140625 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25801972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1715087890625 × 2 - 1) × π
    0.656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06397115004114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25801972} λ = -2.25801972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06397115004114))-π/2
    2×atan(7.87718928122739)-π/2
    2×1.44452294210827-π/2
    2.88904588421653-1.57079632675     		φ = 1.31824956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25801972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31824956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.530136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 1405 -2.25801972 1.31824956 -129.375000 75.530136
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 1405 -2.25725273 1.31824956 -129.331055 75.530136
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 1406 -2.25801972 1.31805784 -129.375000 75.519151
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 1406 -2.25725273 1.31805784 -129.331055 75.519151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31824956-1.31805784) × R
    0.000191719999999895 × 6371000     		dl = 1221.44811999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31824956-1.31805784) × R
    0.000191719999999895 × 6371000     		dr = 1221.44811999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25801972--2.25725273) × cos(1.31824956) × R
    0.000766990000000245 × 0.249870748236604 × 6371000     		do = 1220.99173462584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25801972--2.25725273) × cos(1.31805784) × R
    0.000766990000000245 × 0.250056382131499 × 6371000     		du = 1221.89883340764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31824956)-sin(1.31805784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249870748236604-0.250056382131499)×R²
    abs(-2.25725273--2.25801972)×0.000185633894894566×R²
    0.000766990000000245×0.000185633894894566×6371000²
    0.000766990000000245×0.000185633894894566×40589641000000     		ar = 1491932.05041547m²