Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115192 / 18369
↖ ↑ ↗
← N 78.097729°
E136.384277°		 ← 62.98 m → N 78.097729°
E136.387024°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.097163°
E136.384277°		 ← 62.98 m →
3 964 m²		 N 78.097163°
E136.387024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878849029541016 y=0.140148162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878849029541016 × 217)
    floor (0.878849029541016 × 131072)
    floor (115192.5)     		tx = 115192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140148162841797 × 217)
    floor (0.140148162841797 × 131072)
    floor (18369.5)     		ty = 18369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115192 / 18369 ti = "17/115192/18369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115192/18369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115192 ÷ 217
    115192 ÷ 131072     		x = 0.87884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18369 ÷ 217
    18369 ÷ 131072     		y = 0.140144348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87884521484375 × 2 - 1) × π
    0.7576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.38035469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140144348144531 × 2 - 1) × π
    0.719711303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26103974437919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38035469} λ = 2.38035469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26103974437919))-π/2
    2×atan(9.59305831164385)-π/2
    2×1.46692941938315-π/2
    2.93385883876629-1.57079632675     		φ = 1.36306251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38035469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36306251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.097729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115192 KachelY 18369 2.38035469 1.36306251 136.384277 78.097729
    Oben rechts KachelX + 1 115193 KachelY 18369 2.38040262 1.36306251 136.387024 78.097729
    Unten links KachelX 115192 KachelY + 1 18370 2.38035469 1.36305263 136.384277 78.097163
    Unten rechts KachelX + 1 115193 KachelY + 1 18370 2.38040262 1.36305263 136.387024 78.097163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36306251-1.36305263) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36306251-1.36305263) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38035469-2.38040262) × cos(1.36306251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206242969228487 × 6371000     		do = 62.9787717568768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38035469-2.38040262) × cos(1.36305263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206252636806436 × 6371000     		du = 62.9817238681045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36306251)-sin(1.36305263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206242969228487-0.206252636806436)×R²
    abs(2.38040262-2.38035469)×9.66757794890194e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.66757794890194e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.66757794890194e-06×40589641000000     		ar = 3964.32192920734m²