Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11517 / 19725
↖ ↑ ↗
← S 34.425036°
W 53.470459°		 ← 1 007.69 m → S 34.425036°
W 53.459472°		 →
↑
1 007.57 m
↓
↑
1 007.57 m
↓
S 34.434098°
W 53.470459°		 ← 1 007.58 m →
1 015 266 m²		 S 34.434098°
W 53.459472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351486206054688 y=0.601974487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351486206054688 × 215)
    floor (0.351486206054688 × 32768)
    floor (11517.5)     		tx = 11517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601974487304688 × 215)
    floor (0.601974487304688 × 32768)
    floor (19725.5)     		ty = 19725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11517 / 19725 ti = "15/11517/19725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11517/19725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11517 ÷ 215
    11517 ÷ 32768     		x = 0.351470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19725 ÷ 215
    19725 ÷ 32768     		y = 0.601959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.29705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93323556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.20391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.64062872652243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93323556} λ = -0.93323556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64062872652243))-π/2
    2×atan(0.526961005507705)-π/2
    2×0.484983050609885-π/2
    0.96996610121977-1.57079632675     		φ = -0.60083023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93323556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60083023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.425036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11517 KachelY 19725 -0.93323556 -0.60083023 -53.470459 -34.425036
    Oben rechts KachelX + 1 11518 KachelY 19725 -0.93304381 -0.60083023 -53.459472 -34.425036
    Unten links KachelX 11517 KachelY + 1 19726 -0.93323556 -0.60098838 -53.470459 -34.434098
    Unten rechts KachelX + 1 11518 KachelY + 1 19726 -0.93304381 -0.60098838 -53.459472 -34.434098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60083023--0.60098838) × R
    0.000158149999999968 × 6371000     		dl = 1007.5736499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60083023--0.60098838) × R
    0.000158149999999968 × 6371000     		dr = 1007.5736499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93323556--0.93304381) × cos(-0.60083023) × R
    0.000191749999999935 × 0.824866547398431 × 6371000     		do = 1007.68935031357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93323556--0.93304381) × cos(-0.60098838) × R
    0.000191749999999935 × 0.824777130539594 × 6371000     		du = 1007.5801151692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60083023)-sin(-0.60098838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824866547398431-0.824777130539594)×R²
    abs(-0.93304381--0.93323556)×8.94168588373434e-05×R²
    0.000191749999999935×8.94168588373434e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.94168588373434e-05×40589641000000     		ar = 1015266.20765083m²