Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115167 / 18145
↖ ↑ ↗
← N 78.223953°
E136.315613°		 ← 62.32 m → N 78.223953°
E136.318359°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.223392°
E136.315613°		 ← 62.32 m →
3 887 m²		 N 78.223392°
E136.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878658294677734 y=0.138439178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878658294677734 × 217)
    floor (0.878658294677734 × 131072)
    floor (115167.5)     		tx = 115167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138439178466797 × 217)
    floor (0.138439178466797 × 131072)
    floor (18145.5)     		ty = 18145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115167 / 18145 ti = "17/115167/18145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115167/18145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115167 ÷ 217
    115167 ÷ 131072     		x = 0.878654479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18145 ÷ 217
    18145 ÷ 131072     		y = 0.138435363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878654479980469 × 2 - 1) × π
    0.757308959960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.37915627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138435363769531 × 2 - 1) × π
    0.723129272460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27177760989408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37915627} λ = 2.37915627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27177760989408))-π/2
    2×atan(9.69662231474886)-π/2
    2×1.468030926203-π/2
    2.93606185240599-1.57079632675     		φ = 1.36526553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37915627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.315613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36526553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.223953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115167 KachelY 18145 2.37915627 1.36526553 136.315613 78.223953
    Oben rechts KachelX + 1 115168 KachelY 18145 2.37920420 1.36526553 136.318359 78.223953
    Unten links KachelX 115167 KachelY + 1 18146 2.37915627 1.36525574 136.315613 78.223392
    Unten rechts KachelX + 1 115168 KachelY + 1 18146 2.37920420 1.36525574 136.318359 78.223392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36526553-1.36525574) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36526553-1.36525574) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37915627-2.37920420) × cos(1.36526553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204086813635928 × 6371000     		do = 62.3203637081368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37915627-2.37920420) × cos(1.36525574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204096397573999 × 6371000     		du = 62.3232902789215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36526553)-sin(1.36525574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204086813635928-0.204096397573999)×R²
    abs(2.37920420-2.37915627)×9.5839380709617e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5839380709617e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5839380709617e-06×40589641000000     		ar = 3887.14260223089m²