Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115150 / 16588
↖ ↑ ↗
← N 79.065562°
E136.268921°		 ← 57.92 m → N 79.065562°
E136.271667°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.065041°
E136.268921°		 ← 57.93 m →
3 355 m²		 N 79.065041°
E136.271667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878528594970703 y=0.126560211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878528594970703 × 217)
    floor (0.878528594970703 × 131072)
    floor (115150.5)     		tx = 115150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126560211181641 × 217)
    floor (0.126560211181641 × 131072)
    floor (16588.5)     		ty = 16588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115150 / 16588 ti = "17/115150/16588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115150/16588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115150 ÷ 217
    115150 ÷ 131072     		x = 0.878524780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16588 ÷ 217
    16588 ÷ 131072     		y = 0.126556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878524780273438 × 2 - 1) × π
    0.757049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37834134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126556396484375 × 2 - 1) × π
    0.74688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34641536260251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37834134} λ = 2.37834134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34641536260251))-π/2
    2×atan(10.4480500467549)-π/2
    2×1.47537535373335-π/2
    2.95075070746671-1.57079632675     		φ = 1.37995438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37834134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.268921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37995438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.065562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115150 KachelY 16588 2.37834134 1.37995438 136.268921 79.065562
    Oben rechts KachelX + 1 115151 KachelY 16588 2.37838927 1.37995438 136.271667 79.065562
    Unten links KachelX 115150 KachelY + 1 16589 2.37834134 1.37994529 136.268921 79.065041
    Unten rechts KachelX + 1 115151 KachelY + 1 16589 2.37838927 1.37994529 136.271667 79.065041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37995438-1.37994529) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37995438-1.37994529) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37834134-2.37838927) × cos(1.37995438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189685623258536 × 6371000     		do = 57.9227869800771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37834134-2.37838927) × cos(1.37994529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189694548220639 × 6371000     		du = 57.9255123246228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37995438)-sin(1.37994529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189685623258536-0.189694548220639)×R²
    abs(2.37838927-2.37834134)×8.924962103668e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.924962103668e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.924962103668e-06×40589641000000     		ar = 3354.5259450745m²