Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115149 / 16589
↖ ↑ ↗
← N 79.065041°
E136.266174°		 ← 57.94 m → N 79.065041°
E136.268921°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.064520°
E136.266174°		 ← 57.94 m →
3 359 m²		 N 79.064520°
E136.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878520965576172 y=0.126567840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878520965576172 × 217)
    floor (0.878520965576172 × 131072)
    floor (115149.5)     		tx = 115149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126567840576172 × 217)
    floor (0.126567840576172 × 131072)
    floor (16589.5)     		ty = 16589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115149 / 16589 ti = "17/115149/16589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115149/16589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115149 ÷ 217
    115149 ÷ 131072     		x = 0.878517150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16589 ÷ 217
    16589 ÷ 131072     		y = 0.126564025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878517150878906 × 2 - 1) × π
    0.757034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.37829340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126564025878906 × 2 - 1) × π
    0.746871948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34636742570289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37829340} λ = 2.37829340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34636742570289))-π/2
    2×atan(10.4475492116329)-π/2
    2×1.47537080715603-π/2
    2.95074161431207-1.57079632675     		φ = 1.37994529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37829340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.266174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37994529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.065041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115149 KachelY 16589 2.37829340 1.37994529 136.266174 79.065041
    Oben rechts KachelX + 1 115150 KachelY 16589 2.37834134 1.37994529 136.268921 79.065041
    Unten links KachelX 115149 KachelY + 1 16590 2.37829340 1.37993619 136.266174 79.064520
    Unten rechts KachelX + 1 115150 KachelY + 1 16590 2.37834134 1.37993619 136.268921 79.064520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37994529-1.37993619) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37994529-1.37993619) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37829340-2.37834134) × cos(1.37994529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189694548220639 × 6371000     		do = 57.9375977642164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37829340-2.37834134) × cos(1.37993619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189703482985483 × 6371000     		du = 57.9403266713806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37994529)-sin(1.37993619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189694548220639-0.189703482985483)×R²
    abs(2.37834134-2.37829340)×8.93476484381539e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.93476484381539e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.93476484381539e-06×40589641000000     		ar = 3359.07506746092m²