Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 115140 / 18203
↖ ↑ ↗
← N 78.191397°
E136.241455°		 ← 62.50 m → N 78.191397°
E136.244202°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.190835°
E136.241455°		 ← 62.51 m →
3 907 m²		 N 78.190835°
E136.244202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878452301025391 y=0.138881683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878452301025391 × 217)
    floor (0.878452301025391 × 131072)
    floor (115140.5)     		tx = 115140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138881683349609 × 217)
    floor (0.138881683349609 × 131072)
    floor (18203.5)     		ty = 18203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115140 / 18203 ti = "17/115140/18203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115140/18203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115140 ÷ 217
    115140 ÷ 131072     		x = 0.878448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18203 ÷ 217
    18203 ÷ 131072     		y = 0.138877868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878448486328125 × 2 - 1) × π
    0.75689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.37786197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138877868652344 × 2 - 1) × π
    0.722244262695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26899726971612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37786197} λ = 2.37786197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26899726971612))-π/2
    2×atan(9.66969985028466)-π/2
    2×1.46774682436652-π/2
    2.93549364873303-1.57079632675     		φ = 1.36469732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37786197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.241455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36469732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.191397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115140 KachelY 18203 2.37786197 1.36469732 136.241455 78.191397
    Oben rechts KachelX + 1 115141 KachelY 18203 2.37790991 1.36469732 136.244202 78.191397
    Unten links KachelX 115140 KachelY + 1 18204 2.37786197 1.36468751 136.241455 78.190835
    Unten rechts KachelX + 1 115141 KachelY + 1 18204 2.37790991 1.36468751 136.244202 78.190835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36469732-1.36468751) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dl = 62.4995100007009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36469732-1.36468751) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dr = 62.4995100007009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37786197-2.37790991) × cos(1.36469732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204643031426965 × 6371000     		do = 62.503249309383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37786197-2.37790991) × cos(1.36468751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204652633804866 × 6371000     		du = 62.5061821227593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36469732)-sin(1.36468751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204643031426965-0.204652633804866)×R²
    abs(2.37790991-2.37786197)×9.60237790142981e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.60237790142981e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.60237790142981e-06×40589641000000     		ar = 3906.51410490182m²