Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115130 / 18204
↖ ↑ ↗
← N 78.190835°
E136.213989°		 ← 62.51 m → N 78.190835°
E136.216736°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.190273°
E136.213989°		 ← 62.51 m →
3 907 m²		 N 78.190273°
E136.216736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878376007080078 y=0.138889312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878376007080078 × 217)
    floor (0.878376007080078 × 131072)
    floor (115130.5)     		tx = 115130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138889312744141 × 217)
    floor (0.138889312744141 × 131072)
    floor (18204.5)     		ty = 18204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115130 / 18204 ti = "17/115130/18204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115130/18204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115130 ÷ 217
    115130 ÷ 131072     		x = 0.878372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18204 ÷ 217
    18204 ÷ 131072     		y = 0.138885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878372192382812 × 2 - 1) × π
    0.756744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.37738260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138885498046875 × 2 - 1) × π
    0.72222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2689493328165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37738260} λ = 2.37738260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2689493328165))-π/2
    2×atan(9.66923632596363)-π/2
    2×1.46774191927526-π/2
    2.93548383855051-1.57079632675     		φ = 1.36468751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37738260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36468751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.190835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115130 KachelY 18204 2.37738260 1.36468751 136.213989 78.190835
    Oben rechts KachelX + 1 115131 KachelY 18204 2.37743054 1.36468751 136.216736 78.190835
    Unten links KachelX 115130 KachelY + 1 18205 2.37738260 1.36467770 136.213989 78.190273
    Unten rechts KachelX + 1 115131 KachelY + 1 18205 2.37743054 1.36467770 136.216736 78.190273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36468751-1.36467770) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dl = 62.4995099992862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36468751-1.36467770) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dr = 62.4995099992862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37738260-2.37743054) × cos(1.36468751) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204652633804866 × 6371000     		do = 62.5061821233384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37738260-2.37743054) × cos(1.36467770) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204662236163073 × 6371000     		du = 62.5091149306993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36468751)-sin(1.36467770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204652633804866-0.204662236163073)×R²
    abs(2.37743054-2.37738260)×9.60235820623989e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.60235820623989e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.60235820623989e-06×40589641000000     		ar = 3906.69740409718m²