Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1151 / 1403
↖ ↑ ↗
← N 75.552081°
W129.418945°		 ← 1 219.18 m → N 75.552081°
W129.375000°		 →
↑
1 219.66 m
↓
↑
1 219.66 m
↓
N 75.541112°
W129.418945°		 ← 1 220.09 m →
1 487 542 m²		 N 75.541112°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14056396484375 y=0.17132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14056396484375 × 213)
    floor (0.14056396484375 × 8192)
    floor (1151.5)     		tx = 1151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17132568359375 × 213)
    floor (0.17132568359375 × 8192)
    floor (1403.5)     		ty = 1403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1151 / 1403 ti = "13/1151/1403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1151/1403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1151 ÷ 213
    1151 ÷ 8192     		x = 0.1405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1403 ÷ 213
    1403 ÷ 8192     		y = 0.1712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25878671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1712646484375 × 2 - 1) × π
    0.657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06550513082898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25878671} λ = -2.25878671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06550513082898))-π/2
    2×atan(7.88928201088319)-π/2
    2×1.44471444830975-π/2
    2.8894288966195-1.57079632675     		φ = 1.31863257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25878671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31863257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.552081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1151 KachelY 1403 -2.25878671 1.31863257 -129.418945 75.552081
    Oben rechts KachelX + 1 1152 KachelY 1403 -2.25801972 1.31863257 -129.375000 75.552081
    Unten links KachelX 1151 KachelY + 1 1404 -2.25878671 1.31844113 -129.418945 75.541112
    Unten rechts KachelX + 1 1152 KachelY + 1 1404 -2.25801972 1.31844113 -129.375000 75.541112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31863257-1.31844113) × R
    0.000191439999999821 × 6371000     		dl = 1219.66423999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31863257-1.31844113) × R
    0.000191439999999821 × 6371000     		dr = 1219.66423999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25878671--2.25801972) × cos(1.31863257) × R
    0.000766989999999801 × 0.249499869301673 × 6371000     		do = 1219.17943719819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25878671--2.25801972) × cos(1.31844113) × R
    0.000766989999999801 × 0.249685250406381 × 6371000     		du = 1220.08530072243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31863257)-sin(1.31844113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249499869301673-0.249685250406381)×R²
    abs(-2.25801972--2.25878671)×0.000185381104707838×R²
    0.000766989999999801×0.000185381104707838×6371000²
    0.000766989999999801×0.000185381104707838×40589641000000     		ar = 1487541.99091013m²