Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115059 / 18065
↖ ↑ ↗
← N 78.268712°
E136.018982°		 ← 62.10 m → N 78.268712°
E136.021729°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.268153°
E136.018982°		 ← 62.10 m →
3 858 m²		 N 78.268153°
E136.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877834320068359 y=0.137828826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877834320068359 × 217)
    floor (0.877834320068359 × 131072)
    floor (115059.5)     		tx = 115059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137828826904297 × 217)
    floor (0.137828826904297 × 131072)
    floor (18065.5)     		ty = 18065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115059 / 18065 ti = "17/115059/18065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115059/18065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115059 ÷ 217
    115059 ÷ 131072     		x = 0.877830505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18065 ÷ 217
    18065 ÷ 131072     		y = 0.137825012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877830505371094 × 2 - 1) × π
    0.755661010742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.37397908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137825012207031 × 2 - 1) × π
    0.724349975585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27561256186369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37397908} λ = 2.37397908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27561256186369))-π/2
    2×atan(9.73387979024615)-π/2
    2×1.4684215240781-π/2
    2.93684304815621-1.57079632675     		φ = 1.36604672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37397908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.018982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36604672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.268712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115059 KachelY 18065 2.37397908 1.36604672 136.018982 78.268712
    Oben rechts KachelX + 1 115060 KachelY 18065 2.37402702 1.36604672 136.021729 78.268712
    Unten links KachelX 115059 KachelY + 1 18066 2.37397908 1.36603697 136.018982 78.268153
    Unten rechts KachelX + 1 115060 KachelY + 1 18066 2.37402702 1.36603697 136.021729 78.268153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36604672-1.36603697) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36604672-1.36603697) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37397908-2.37402702) × cos(1.36604672) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203322003307934 × 6371000     		do = 62.0997733191427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37397908-2.37402702) × cos(1.36603697) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203331549639545 × 6371000     		du = 62.1026890145393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36604672)-sin(1.36603697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203322003307934-0.203331549639545)×R²
    abs(2.37402702-2.37397908)×9.54633161093232e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.54633161093232e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.54633161093232e-06×40589641000000     		ar = 3857.5577017307m²