Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115047 / 18201
↖ ↑ ↗
← N 78.192521°
E135.986023°		 ← 62.48 m → N 78.192521°
E135.988769°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.191959°
E135.986023°		 ← 62.49 m →
3 905 m²		 N 78.191959°
E135.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877742767333984 y=0.138866424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877742767333984 × 217)
    floor (0.877742767333984 × 131072)
    floor (115047.5)     		tx = 115047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138866424560547 × 217)
    floor (0.138866424560547 × 131072)
    floor (18201.5)     		ty = 18201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115047 / 18201 ti = "17/115047/18201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115047/18201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115047 ÷ 217
    115047 ÷ 131072     		x = 0.877738952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18201 ÷ 217
    18201 ÷ 131072     		y = 0.138862609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877738952636719 × 2 - 1) × π
    0.755477905273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.37340384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138862609863281 × 2 - 1) × π
    0.722274780273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.26909314351536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37340384} λ = 2.37340384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26909314351536))-π/2
    2×atan(9.67062696558914)-π/2
    2×1.46775663385859-π/2
    2.93551326771718-1.57079632675     		φ = 1.36471694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37340384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.986023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36471694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.192521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115047 KachelY 18201 2.37340384 1.36471694 135.986023 78.192521
    Oben rechts KachelX + 1 115048 KachelY 18201 2.37345177 1.36471694 135.988769 78.192521
    Unten links KachelX 115047 KachelY + 1 18202 2.37340384 1.36470713 135.986023 78.191959
    Unten rechts KachelX + 1 115048 KachelY + 1 18202 2.37345177 1.36470713 135.988769 78.191959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36471694-1.36470713) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dl = 62.4995100007009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36471694-1.36470713) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dr = 62.4995100007009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37340384-2.37345177) × cos(1.36471694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204623826612081 × 6371000     		do = 62.4843470806714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37340384-2.37345177) × cos(1.36470713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20463342902937 × 6371000     		du = 62.4872792943075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36471694)-sin(1.36470713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204623826612081-0.20463342902937)×R²
    abs(2.37345177-2.37340384)×9.60241728859001e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.60241728859001e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.60241728859001e-06×40589641000000     		ar = 3905.33270606292m²