Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115032 / 18200
↖ ↑ ↗
← N 78.193083°
E135.944824°		 ← 62.49 m → N 78.193083°
E135.947571°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.192521°
E135.944824°		 ← 62.50 m →
3 906 m²		 N 78.192521°
E135.947571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877628326416016 y=0.138858795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877628326416016 × 217)
    floor (0.877628326416016 × 131072)
    floor (115032.5)     		tx = 115032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138858795166016 × 217)
    floor (0.138858795166016 × 131072)
    floor (18200.5)     		ty = 18200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115032 / 18200 ti = "17/115032/18200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115032/18200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115032 ÷ 217
    115032 ÷ 131072     		x = 0.87762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18200 ÷ 217
    18200 ÷ 131072     		y = 0.13885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87762451171875 × 2 - 1) × π
    0.7552490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37268478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13885498046875 × 2 - 1) × π
    0.7222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26914108041498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37268478} λ = 2.37268478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26914108041498))-π/2
    2×atan(9.67109055657472)-π/2
    2×1.46776153825942-π/2
    2.93552307651884-1.57079632675     		φ = 1.36472675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37268478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.944824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36472675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.193083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115032 KachelY 18200 2.37268478 1.36472675 135.944824 78.193083
    Oben rechts KachelX + 1 115033 KachelY 18200 2.37273272 1.36472675 135.947571 78.193083
    Unten links KachelX 115032 KachelY + 1 18201 2.37268478 1.36471694 135.944824 78.192521
    Unten rechts KachelX + 1 115033 KachelY + 1 18201 2.37273272 1.36471694 135.947571 78.192521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36472675-1.36471694) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dl = 62.4995099992862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36472675-1.36471694) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dr = 62.4995099992862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37268478-2.37273272) × cos(1.36472675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204614224175101 × 6371000     		do = 62.494450833165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37268478-2.37273272) × cos(1.36471694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204623826612081 × 6371000     		du = 62.4973836645856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36472675)-sin(1.36471694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204614224175101-0.204623826612081)×R²
    abs(2.37273272-2.37268478)×9.60243698058805e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.60243698058805e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.60243698058805e-06×40589641000000     		ar = 3905.96420504793m²