Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 115027 / 18003
↖ ↑ ↗
← N 78.303285°
E135.931091°		 ← 61.92 m → N 78.303285°
E135.933838°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.302728°
E135.931091°		 ← 61.92 m →
3 831 m²		 N 78.302728°
E135.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877590179443359 y=0.137355804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877590179443359 × 217)
    floor (0.877590179443359 × 131072)
    floor (115027.5)     		tx = 115027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137355804443359 × 217)
    floor (0.137355804443359 × 131072)
    floor (18003.5)     		ty = 18003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115027 / 18003 ti = "17/115027/18003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115027/18003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115027 ÷ 217
    115027 ÷ 131072     		x = 0.877586364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18003 ÷ 217
    18003 ÷ 131072     		y = 0.137351989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877586364746094 × 2 - 1) × π
    0.755172729492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.37244510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137351989746094 × 2 - 1) × π
    0.725296020507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.27858464964013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37244510} λ = 2.37244510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27858464964013))-π/2
    2×atan(9.76285276917912)-π/2
    2×1.4687232302817-π/2
    2.93744646056341-1.57079632675     		φ = 1.36665013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37244510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.931091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36665013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.303285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115027 KachelY 18003 2.37244510 1.36665013 135.931091 78.303285
    Oben rechts KachelX + 1 115028 KachelY 18003 2.37249304 1.36665013 135.933838 78.303285
    Unten links KachelX 115027 KachelY + 1 18004 2.37244510 1.36664042 135.931091 78.302728
    Unten rechts KachelX + 1 115028 KachelY + 1 18004 2.37249304 1.36664042 135.933838 78.302728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36665013-1.36664042) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36665013-1.36664042) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37244510-2.37249304) × cos(1.36665013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202731160401585 × 6371000     		do = 61.9193146866722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37244510-2.37249304) × cos(1.36664042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202740668758381 × 6371000     		du = 61.9222187835828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36665013)-sin(1.36664042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202731160401585-0.202740668758381)×R²
    abs(2.37249304-2.37244510)×9.50835679622286e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50835679622286e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50835679622286e-06×40589641000000     		ar = 3830.56785943113m²