Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 115003 / 18357
↖ ↑ ↗
← N 78.104525°
E135.865173°		 ← 62.96 m → N 78.104525°
E135.867920°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.103959°
E135.865173°		 ← 62.96 m →
3 963 m²		 N 78.103959°
E135.867920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877407073974609 y=0.140056610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877407073974609 × 217)
    floor (0.877407073974609 × 131072)
    floor (115003.5)     		tx = 115003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140056610107422 × 217)
    floor (0.140056610107422 × 131072)
    floor (18357.5)     		ty = 18357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 115003 / 18357 ti = "17/115003/18357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/115003/18357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115003 ÷ 217
    115003 ÷ 131072     		x = 0.877403259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18357 ÷ 217
    18357 ÷ 131072     		y = 0.140052795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877403259277344 × 2 - 1) × π
    0.754806518554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.37129461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140052795410156 × 2 - 1) × π
    0.719894409179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26161498717463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37129461} λ = 2.37129461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26161498717463))-π/2
    2×atan(9.59857823682025)-π/2
    2×1.4669887225818-π/2
    2.93397744516361-1.57079632675     		φ = 1.36318112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37129461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.865173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36318112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.104525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115003 KachelY 18357 2.37129461 1.36318112 135.865173 78.104525
    Oben rechts KachelX + 1 115004 KachelY 18357 2.37134255 1.36318112 135.867920 78.104525
    Unten links KachelX 115003 KachelY + 1 18358 2.37129461 1.36317124 135.865173 78.103959
    Unten rechts KachelX + 1 115004 KachelY + 1 18358 2.37134255 1.36317124 135.867920 78.103959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36318112-1.36317124) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36318112-1.36317124) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37129461-2.37134255) × cos(1.36318112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206126907796788 × 6371000     		do = 62.9564633477044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37129461-2.37134255) × cos(1.36317124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206136575616364 × 6371000     		du = 62.9594161486525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36318112)-sin(1.36317124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206126907796788-0.206136575616364)×R²
    abs(2.37134255-2.37129461)×9.66781957584262e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66781957584262e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66781957584262e-06×40589641000000     		ar = 3962.91773718543m²