Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 115 / 109
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 18.281250°		 ← 140.781 km → N 25.799891°
W 16.875000°		 →
↑
141.524 km
↓
↑
141.524 km
↓
N 24.527135°
W 18.281250°		 ← 142.258 km →
20 029.2 km²		 N 24.527135°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451171875 y=0.427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451171875 × 28)
    floor (0.451171875 × 256)
    floor (115.5)     		tx = 115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427734375 × 28)
    floor (0.427734375 × 256)
    floor (109.5)     		ty = 109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 115 / 109 ti = "8/115/109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/115/109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 115 ÷ 28
    115 ÷ 256     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 109 ÷ 28
    109 ÷ 256     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 115 KachelY 109 -0.31906800 0.45029305 -18.281250 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 116 KachelY 109 -0.29452431 0.45029305 -16.875000 25.799891
    Unten links KachelX 115 KachelY + 1 110 -0.31906800 0.42807926 -18.281250 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 116 KachelY + 1 110 -0.29452431 0.42807926 -16.875000 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.42807926) × R
    0.02221379 × 6371000     		dl = 141524.05609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.42807926) × R
    0.02221379 × 6371000     		dr = 141524.05609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.29452431) × cos(0.45029305) × R
    0.02454369 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 140781.038792735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.29452431) × cos(0.42807926) × R
    0.02454369 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 142257.96062693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.29452431--0.31906800)×0.00944517587045568×R²
    0.02454369×0.00944517587045568×6371000²
    0.02454369×0.00944517587045568×40589641000000     		ar = 20029237244.5796m²