Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114990 / 18138
↖ ↑ ↗
← N 78.227876°
E135.829468°		 ← 62.31 m → N 78.227876°
E135.832214°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.227315°
E135.829468°		 ← 62.32 m →
3 883 m²		 N 78.227315°
E135.832214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877307891845703 y=0.138385772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877307891845703 × 217)
    floor (0.877307891845703 × 131072)
    floor (114990.5)     		tx = 114990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138385772705078 × 217)
    floor (0.138385772705078 × 131072)
    floor (18138.5)     		ty = 18138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114990 / 18138 ti = "17/114990/18138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114990/18138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114990 ÷ 217
    114990 ÷ 131072     		x = 0.877304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18138 ÷ 217
    18138 ÷ 131072     		y = 0.138381958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877304077148438 × 2 - 1) × π
    0.754608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37067143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138381958007812 × 2 - 1) × π
    0.723236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27211316819142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37067143} λ = 2.37067143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27211316819142))-π/2
    2×atan(9.69987664280061)-π/2
    2×1.46806516209206-π/2
    2.93613032418412-1.57079632675     		φ = 1.36533400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37067143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36533400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.227876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114990 KachelY 18138 2.37067143 1.36533400 135.829468 78.227876
    Oben rechts KachelX + 1 114991 KachelY 18138 2.37071937 1.36533400 135.832214 78.227876
    Unten links KachelX 114990 KachelY + 1 18139 2.37067143 1.36532422 135.829468 78.227315
    Unten rechts KachelX + 1 114991 KachelY + 1 18139 2.37071937 1.36532422 135.832214 78.227315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36533400-1.36532422) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36533400-1.36532422) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37067143-2.37071937) × cos(1.36533400) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204019784259795 × 6371000     		do = 62.3128935827245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37067143-2.37071937) × cos(1.36532422) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204029358545002 × 6371000     		du = 62.3158178158691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36533400)-sin(1.36532422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204019784259795-0.204029358545002)×R²
    abs(2.37071937-2.37067143)×9.574285207814e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.574285207814e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.574285207814e-06×40589641000000     		ar = 3882.70655458326m²