Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114989 / 16665
↖ ↑ ↗
← N 79.025373°
E135.826721°		 ← 58.13 m → N 79.025373°
E135.829468°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.024850°
E135.826721°		 ← 58.14 m →
3 378 m²		 N 79.024850°
E135.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877300262451172 y=0.127147674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877300262451172 × 217)
    floor (0.877300262451172 × 131072)
    floor (114989.5)     		tx = 114989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127147674560547 × 217)
    floor (0.127147674560547 × 131072)
    floor (16665.5)     		ty = 16665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114989 / 16665 ti = "17/114989/16665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114989/16665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114989 ÷ 217
    114989 ÷ 131072     		x = 0.877296447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16665 ÷ 217
    16665 ÷ 131072     		y = 0.127143859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877296447753906 × 2 - 1) × π
    0.754592895507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.37062350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127143859863281 × 2 - 1) × π
    0.745712280273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34272422133176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37062350} λ = 2.37062350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34272422133176))-π/2
    2×atan(10.4095559053908)-π/2
    2×1.47502464041588-π/2
    2.95004928083175-1.57079632675     		φ = 1.37925295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37062350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.826721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37925295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.025373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114989 KachelY 16665 2.37062350 1.37925295 135.826721 79.025373
    Oben rechts KachelX + 1 114990 KachelY 16665 2.37067143 1.37925295 135.829468 79.025373
    Unten links KachelX 114989 KachelY + 1 16666 2.37062350 1.37924383 135.826721 79.024850
    Unten rechts KachelX + 1 114990 KachelY + 1 16666 2.37067143 1.37924383 135.829468 79.024850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37925295-1.37924383) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dl = 58.1035199991244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37925295-1.37924383) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dr = 58.1035199991244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37062350-2.37067143) × cos(1.37925295) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.190374271991748 × 6371000     		do = 58.1330741546692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37062350-2.37067143) × cos(1.37924383) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.190383225193488 × 6371000     		du = 58.1358081225275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37925295)-sin(1.37924383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190374271991748-0.190383225193488)×R²
    abs(2.37067143-2.37062350)×8.95320173985303e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.95320173985303e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.95320173985303e-06×40589641000000     		ar = 3377.81566324053m²