Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114982 / 18266
↖ ↑ ↗
← N 78.155934°
E135.807495°		 ← 62.69 m → N 78.155934°
E135.810242°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.155370°
E135.807495°		 ← 62.69 m →
3 930 m²		 N 78.155370°
E135.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877246856689453 y=0.139362335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877246856689453 × 217)
    floor (0.877246856689453 × 131072)
    floor (114982.5)     		tx = 114982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139362335205078 × 217)
    floor (0.139362335205078 × 131072)
    floor (18266.5)     		ty = 18266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114982 / 18266 ti = "17/114982/18266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114982/18266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114982 ÷ 217
    114982 ÷ 131072     		x = 0.877243041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18266 ÷ 217
    18266 ÷ 131072     		y = 0.139358520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877243041992188 × 2 - 1) × π
    0.754486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37028794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139358520507812 × 2 - 1) × π
    0.721282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26597724504005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37028794} λ = 2.37028794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26597724504005))-π/2
    2×atan(9.6405411702552)-π/2
    2×1.4674373536973-π/2
    2.9348747073946-1.57079632675     		φ = 1.36407838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37028794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.807495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36407838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.155934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114982 KachelY 18266 2.37028794 1.36407838 135.807495 78.155934
    Oben rechts KachelX + 1 114983 KachelY 18266 2.37033588 1.36407838 135.810242 78.155934
    Unten links KachelX 114982 KachelY + 1 18267 2.37028794 1.36406854 135.807495 78.155370
    Unten rechts KachelX + 1 114983 KachelY + 1 18267 2.37033588 1.36406854 135.810242 78.155370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36407838-1.36406854) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36407838-1.36406854) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37028794-2.37033588) × cos(1.36407838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205248833359797 × 6371000     		do = 62.6882768130115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37028794-2.37033588) × cos(1.36406854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205258463854512 × 6371000     		du = 62.6912182139864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36407838)-sin(1.36406854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205248833359797-0.205258463854512)×R²
    abs(2.37033588-2.37028794)×9.6304947152237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6304947152237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6304947152237e-06×40589641000000     		ar = 3930.06039307056m²