Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114968 / 16662
↖ ↑ ↗
← N 79.026942°
E135.769043°		 ← 58.14 m → N 79.026942°
E135.771790°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.026419°
E135.769043°		 ← 58.14 m →
3 378 m²		 N 79.026419°
E135.771790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877140045166016 y=0.127124786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877140045166016 × 217)
    floor (0.877140045166016 × 131072)
    floor (114968.5)     		tx = 114968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127124786376953 × 217)
    floor (0.127124786376953 × 131072)
    floor (16662.5)     		ty = 16662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114968 / 16662 ti = "17/114968/16662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114968/16662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114968 ÷ 217
    114968 ÷ 131072     		x = 0.87713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16662 ÷ 217
    16662 ÷ 131072     		y = 0.127120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87713623046875 × 2 - 1) × π
    0.7542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36961682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127120971679688 × 2 - 1) × π
    0.745758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34286803203062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36961682} λ = 2.36961682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34286803203062))-π/2
    2×atan(10.4110530185482)-π/2
    2×1.47503832837788-π/2
    2.95007665675576-1.57079632675     		φ = 1.37928033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36961682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37928033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.026942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114968 KachelY 16662 2.36961682 1.37928033 135.769043 79.026942
    Oben rechts KachelX + 1 114969 KachelY 16662 2.36966476 1.37928033 135.771790 79.026942
    Unten links KachelX 114968 KachelY + 1 16663 2.36961682 1.37927121 135.769043 79.026419
    Unten rechts KachelX + 1 114969 KachelY + 1 16663 2.36966476 1.37927121 135.771790 79.026419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37928033-1.37927121) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37928033-1.37927121) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36961682-2.36966476) × cos(1.37928033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190347392657189 × 6371000     		do = 58.1369932593544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36961682-2.36966476) × cos(1.37927121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190356345906465 × 6371000     		du = 58.1397278121398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37928033)-sin(1.37927121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190347392657189-0.190356345906465)×R²
    abs(2.36966476-2.36961682)×8.95324927535635e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.95324927535635e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.95324927535635e-06×40589641000000     		ar = 3378.04339415157m²