Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114966 / 82199
↖ ↑ ↗
← S 41.555866°
E135.763550°		 ← 228.55 m → S 41.555866°
E135.766297°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
S 41.557921°
E135.763550°		 ← 228.55 m →
52 230 m²		 S 41.557921°
E135.766297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877124786376953 y=0.627132415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877124786376953 × 217)
    floor (0.877124786376953 × 131072)
    floor (114966.5)     		tx = 114966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627132415771484 × 217)
    floor (0.627132415771484 × 131072)
    floor (82199.5)     		ty = 82199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114966 / 82199 ti = "17/114966/82199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114966/82199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114966 ÷ 217
    114966 ÷ 131072     		x = 0.877120971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82199 ÷ 217
    82199 ÷ 131072     		y = 0.627128601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877120971679688 × 2 - 1) × π
    0.754241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36952095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627128601074219 × 2 - 1) × π
    -0.254257202148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.798772558368996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36952095} λ = 2.36952095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798772558368996))-π/2
    2×atan(0.449880827814747)-π/2
    2×0.422754818025014-π/2
    0.845509636050028-1.57079632675     		φ = -0.72528669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36952095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.763550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72528669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.555866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114966 KachelY 82199 2.36952095 -0.72528669 135.763550 -41.555866
    Oben rechts KachelX + 1 114967 KachelY 82199 2.36956889 -0.72528669 135.766297 -41.555866
    Unten links KachelX 114966 KachelY + 1 82200 2.36952095 -0.72532256 135.763550 -41.557921
    Unten rechts KachelX + 1 114967 KachelY + 1 82200 2.36956889 -0.72532256 135.766297 -41.557921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72528669--0.72532256) × R
    3.58699999999379e-05 × 6371000     		dl = 228.527769999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72528669--0.72532256) × R
    3.58699999999379e-05 × 6371000     		dr = 228.527769999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36952095-2.36956889) × cos(-0.72528669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748309276908696 × 6371000     		do = 228.552914648553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36952095-2.36956889) × cos(-0.72532256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748285482062695 × 6371000     		du = 228.545647090106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72528669)-sin(-0.72532256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748309276908696-0.748285482062695)×R²
    abs(2.36956889-2.36952095)×2.37948460005688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37948460005688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37948460005688e-05×40589641000000     		ar = 52229.8574977955m²