Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114966 / 82196
↖ ↑ ↗
← S 41.549700°
E135.763550°		 ← 228.57 m → S 41.549700°
E135.766297°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 41.551756°
E135.763550°		 ← 228.57 m →
52 249 m²		 S 41.551756°
E135.766297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877124786376953 y=0.627109527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877124786376953 × 217)
    floor (0.877124786376953 × 131072)
    floor (114966.5)     		tx = 114966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627109527587891 × 217)
    floor (0.627109527587891 × 131072)
    floor (82196.5)     		ty = 82196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114966 / 82196 ti = "17/114966/82196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114966/82196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114966 ÷ 217
    114966 ÷ 131072     		x = 0.877120971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82196 ÷ 217
    82196 ÷ 131072     		y = 0.627105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877120971679688 × 2 - 1) × π
    0.754241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36952095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.25421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.798628747670135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36952095} λ = 2.36952095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798628747670135))-π/2
    2×atan(0.44994553014333)-π/2
    2×0.422808628031524-π/2
    0.845617256063048-1.57079632675     		φ = -0.72517907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36952095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.763550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72517907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.549700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114966 KachelY 82196 2.36952095 -0.72517907 135.763550 -41.549700
    Oben rechts KachelX + 1 114967 KachelY 82196 2.36956889 -0.72517907 135.766297 -41.549700
    Unten links KachelX 114966 KachelY + 1 82197 2.36952095 -0.72521495 135.763550 -41.551756
    Unten rechts KachelX + 1 114967 KachelY + 1 82197 2.36956889 -0.72521495 135.766297 -41.551756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72517907--0.72521495) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72517907--0.72521495) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36952095-2.36956889) × cos(-0.72517907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748380662302366 × 6371000     		do = 228.574717585241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36952095-2.36956889) × cos(-0.72521495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748356863712215 × 6371000     		du = 228.567448883233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72517907)-sin(-0.72521495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748380662302366-0.748356863712215)×R²
    abs(2.36956889-2.36952095)×2.37985901515581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37985901515581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37985901515581e-05×40589641000000     		ar = 52249.4022073831m²