Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114962 / 82205
↖ ↑ ↗
← S 41.568197°
E135.752563°		 ← 228.51 m → S 41.568197°
E135.755310°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 41.570252°
E135.752563°		 ← 228.50 m →
52 205 m²		 S 41.570252°
E135.755310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877094268798828 y=0.627178192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877094268798828 × 217)
    floor (0.877094268798828 × 131072)
    floor (114962.5)     		tx = 114962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627178192138672 × 217)
    floor (0.627178192138672 × 131072)
    floor (82205.5)     		ty = 82205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114962 / 82205 ti = "17/114962/82205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114962/82205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114962 ÷ 217
    114962 ÷ 131072     		x = 0.877090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82205 ÷ 217
    82205 ÷ 131072     		y = 0.627174377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    0.754180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36932920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627174377441406 × 2 - 1) × π
    -0.254348754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.799060179766716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36932920} λ = 2.36932920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799060179766716))-π/2
    2×atan(0.449751451068895)-π/2
    2×0.422647213411305-π/2
    0.845294426822611-1.57079632675     		φ = -0.72550190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36932920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72550190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.568197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114962 KachelY 82205 2.36932920 -0.72550190 135.752563 -41.568197
    Oben rechts KachelX + 1 114963 KachelY 82205 2.36937714 -0.72550190 135.755310 -41.568197
    Unten links KachelX 114962 KachelY + 1 82206 2.36932920 -0.72553776 135.752563 -41.570252
    Unten rechts KachelX + 1 114963 KachelY + 1 82206 2.36937714 -0.72553776 135.755310 -41.570252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72550190--0.72553776) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72550190--0.72553776) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36932920-2.36937714) × cos(-0.72550190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748166500026615 × 6371000     		do = 228.509306913689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36932920-2.36937714) × cos(-0.72553776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74814270604 × 6371000     		du = 228.50203961772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72550190)-sin(-0.72553776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748166500026615-0.74814270604)×R²
    abs(2.36937714-2.36932920)×2.3793986614562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3793986614562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3793986614562e-05×40589641000000     		ar = 52205.3338527575m²